Hartley oscillator — Électronique 3 : Oscillateurs

1/ Using Kirchhoff’s nodal rule in

𝐴

, express its potential

𝑉_{𝐴} (𝑝)

as a function of the voltages

𝑒

and

𝑠

Coup de pouce 1

Si la relation des nœuds en tension n’est pas connue, appliquer la loi des nœuds et remplacer chaque courant en faisant apparaitre une tension grâce à la loi d’Ohm (en complexes) dans

𝑅

𝐿

𝐶

Corrigé

La loi des nœuds en $𝐴$ donne

𝑖_{𝑅} - 𝑖_{𝐶} - 𝑖_{𝐿} = 0

\frac{𝐸 (𝑝) - 𝑉_{𝐴} (𝑝)}{𝑅} - 𝐶 𝑝 𝑉_{𝐴} (𝑝) - \frac{𝑉_{𝐴} (𝑝) - 𝑆 (𝑝)}{𝐿 𝑝} = 0

soit, en isolant $𝑉_{𝐴}$ ,

𝑉_{𝐴} (𝑝) (- \frac{1}{𝑅} - 𝐶 𝑝 - \frac{1}{𝐿 𝑝}) = - \frac{𝐸 (𝑝)}{𝑅} - \frac{𝑆 (𝑝)}{𝐿 𝑝}

𝑉_{𝐴} (𝑝) = \frac{\frac{𝐸 (𝑝)}{𝑅} + \frac{𝑆 (𝑝)}{𝐿 𝑝}}{\frac{1}{𝑅} + 𝐶 𝑝 + \frac{1}{𝐿 𝑝}} = \frac{𝐿 𝑝 𝐸 (𝑝) + 𝑅 𝑆 (𝑝)}{𝑅 𝐿 𝐶 𝑝^{2} + 𝐿 𝑝 + 𝑅}

Coup de pouce 1

Ascertain

𝑠

as a function of the potential in

𝐴

thanks to the voltage divider law.

Corrigé

Les deux inductances $𝐿$ sont parcourues par le même courant (aucun courant ne sort par la sortie $𝑠$ ) : elles forment un pont diviseur de tension entre $𝐴$ et la masse, la sortie $𝑠$ étant prise à leur point milieu :

𝑆 (𝑝) = \frac{𝐿 𝑝}{𝐿 𝑝 + 𝐿 𝑝} 𝑉_{𝐴} (𝑝) = \frac{𝑉_{𝐴} (𝑝)}{2} \Rightarrow 𝑉_{𝐴} (𝑝) = 2 𝑆 (𝑝)

En reportant dans la relation de la question précédente,

2 𝑆 (𝑝) (𝑅 𝐿 𝐶 𝑝^{2} + 𝐿 𝑝 + 𝑅) = 𝐿 𝑝 𝐸 (𝑝) + 𝑅 𝑆 (𝑝)

𝑆 (𝑝) (2 𝑅 𝐿 𝐶 𝑝^{2} + 2 𝐿 𝑝 + 2 𝑅 - 𝑅) = 𝐿 𝑝 𝐸 (𝑝)

d’où la fonction de transfert du filtre de Hartley

𝐻 (𝑝) = \frac{𝑆 (𝑝)}{𝐸 (𝑝)} = \frac{𝐿 𝑝}{𝑅 + 2 𝐿 𝑝 + 2 𝑅 𝐿 𝐶 𝑝^{2}}

The complete Hartley oscillator’s electrical schema is shown below. The operational amplifier is assumed to be ideal.

3/ Which operational amplifier assembly can be recognized? Give its transfer function without any demonstration.

Coup de pouce 1

Pour reconnaitre le montage à ALI, celui-ci est-il stable ou instable ? L’entrée est-elle “côté” borne inverseuse ou non-inverseuse ?

Corrigé

L’ALI est bouclé sur son entrée inverseuse par $𝑅_{1}$ et $𝑅_{2}$ (rétroaction négative), et l’entrée $𝑠$ du montage arrive sur l’entrée non-inverseuse : on reconnait un montage amplificateur non-inverseur, de fonction de transfert (sortie $𝑒$ , entrée $𝑠$ )

𝐺 (𝑝) = \frac{𝐸 (𝑝)}{𝑆 (𝑝)} = 1 + \frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1}}

Coup de pouce 1

Obtenir une équation différentielle portant sur

𝑠

ou sur

𝑒

Coup de pouce 2

Transformer la fonction de transfert du filtre de Hartley en une équation différentielle sur

𝑠

𝑒

. Remplacer l’un des deux en utilisant la relation entrée-sortie d’un amplificateur non-inverseur.

Coup de pouce 3

Les solutions de l’équation différentielle doivent-elles converger ou diverger pour que les oscillations démarrent.

Corrigé

En reprenant $𝑆 (𝑝) (𝑅 + 2 𝐿 𝑝 + 2 𝑅 𝐿 𝐶 𝑝^{2}) = 𝐿 𝑝 𝐸 (𝑝)$ (filtre de Hartley) et $𝐸 (𝑝) = (1 + \frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1}}) 𝑆 (𝑝)$ (amplificateur non-inverseur),

𝑆 (𝑝) (𝑅 + 2 𝐿 𝑝 + 2 𝑅 𝐿 𝐶 𝑝^{2}) = 𝐿 𝑝 (1 + \frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1}}) 𝑆 (𝑝)

𝑆 (𝑝) (𝑅 + [2 𝐿 - 𝐿 (1 + \frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1}})] 𝑝 + 2 𝑅 𝐿 𝐶 𝑝^{2}) = 0

𝑆 (𝑝) (𝑅 + 𝐿 (1 - \frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1}}) 𝑝 + 2 𝑅 𝐿 𝐶 𝑝^{2}) = 0

ce qui donne, en passant dans le domaine temporel,

2 𝑅 𝐿 𝐶 \frac{d^{2} 𝑠}{d 𝑡^{2}} + 𝐿 (1 - \frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1}}) \frac{d 𝑠}{d 𝑡} + 𝑅 𝑠 = 0

Les oscillations démarrent si ce système bouclé est instable, c’est-à-dire si le coefficient de $\frac{d 𝑠}{d 𝑡}$ est négatif :

1 - \frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1}} < 0 \Rightarrow 𝑅_{2} > 𝑅_{1}

Coup de pouce 1

En partant de la fonction de transfert du filtre de Hartley, éliminer

𝐸

𝑆

Coup de pouce 2

Éliminer les fractions de l’équation ainsi obtenue et en prendre partie réelle et partie imaginaire.

Corrigé

Des oscillations sinusoïdales entretenues correspondent au cas limite (marginalement stable) de l’équation différentielle précédente, soit $𝑝 = 𝑗 𝜔$ dans

𝑅 + 𝐿 (1 - \frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1}}) 𝑗 𝜔 - 2 𝑅 𝐿 𝐶 𝜔^{2} = 0

En séparant partie réelle et partie imaginaire,

{\begin{cases} partie réelle : & 𝑅 - 2 𝑅 𝐿 𝐶 𝜔^{2} = 0 \\ partie imaginaire : & 𝐿 (1 - \frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1}}) 𝜔 = 0 \end{cases}

La partie imaginaire donne (pour $𝜔 \neq 0$ ) la condition

𝑅_{2} = 𝑅_{1}

(cas limite de la question précédente), et la partie réelle donne la pulsation des oscillations

𝜔_{0} = \frac{1}{\sqrt{2 𝐿 𝐶}}

soit une fréquence $𝑓_{0} = \frac{𝜔_{0}}{2 𝜋} = \frac{1}{2 𝜋 \sqrt{2 𝐿 𝐶}}$ .

Coup de pouce 1

Quelles sont les amplitudes de

𝑒

𝑠

Coup de pouce 2

Qu’est-ce qui limite l’amplitude des oscillations ?

Corrigé

La tension $𝑒$ est la tension de sortie de l’ALI : son amplitude est limitée par la saturation de l’ALI, elle vaut $𝑉_{sat}$ .

À la pulsation $𝜔_{0}$ , la partie réelle du dénominateur de $𝐻$ est nulle (question précédente), il reste

𝐻 (𝑗 𝜔_{0}) = \frac{𝐿 𝑗 𝜔_{0}}{2 𝐿 𝑗 𝜔_{0}} = \frac{1}{2}

L’amplitude de $𝑠$ vaut donc

\hat{𝑠} = \frac{1}{2} 𝑉_{sat}

Coup de pouce 1

Est-ce l’amplificateur non-inverseur ou le filtre de Hartley qui “purifie” le spectre de son entrée ?

Corrigé

La tension

𝑒

est la sortie saturée de l’ALI, dont le spectre est riche en harmoniques. La tension

𝑠

est la sortie du filtre de Hartley, un filtre passe-bande qui atténue les harmoniques autour de la fréquence centrale. C’est donc

𝑠

qui est la tension la plus sinusoïdale.

Hartley oscillator ★