Simulateur d'impédance — Électronique 2 : Rétroaction

On s’intéresse au montage suivant. L’ALI est supposé idéal. Le montage est supposé stable.

Coup de pouce 1

Relier le potentiel de l’entrée inverseuse à la sortie. Relier le potentiel de l’entrée non-inverseuse à l’entrée.

Coup de pouce 2

Relier le potentiel de l’entrée inverseuse à la sortie grâce à un pont diviseur de tension entre

𝑅^{'}

2 𝑅^{'}

. Relier le potentiel de l’entrée non-inverseuse à l’entrée grâce à un pont diviseur de tension entre

𝐶

2 𝑅

Coup de pouce 3

Que vaut la différence de potentiel entre entrée inverseuse et entrée non inverseuse de l’ALI pour un montage stable ?

Corrigé

Comme le courant d’entrée de l’ALI est nul, on peut appliquer la loi du pont diviseur de tensions, qui donne

𝑉_{-} = \frac{2 𝑅^{'}}{𝑅^{'} + 2 𝑅^{'}} 𝑠 = \frac{2}{3} 𝑠

Ou, en complexes :

𝑉_{-} = \frac{2}{3} 𝑠

De la même manière, sur l’entrée non-inverseuse, on a

𝑉_{+} = \frac{2 𝑅}{\frac{1}{𝑗 𝐶 𝜔} + 2 𝑅} 𝑒 = \frac{2 𝑗 𝑅 𝐶 𝜔}{1 + 2 𝑗 𝑅 𝐶 𝜔} 𝑒

Or le montage est stable et l’ALI idéal, donc $𝑉_{-} = 𝑉_{+}$ . On obtient donc

\frac{2}{3} 𝑠 = \frac{2 𝑗 𝑅 𝐶 𝜔}{1 + 2 𝑗 𝑅 𝐶 𝜔} 𝑒

𝐻 (𝑗 𝜔) = \frac{𝑠}{𝑒} = \frac{3 𝑗 𝑅 𝐶 𝜔}{1 + 2 𝑗 𝑅 𝐶 𝜔}

2/ Déterminer l’impédance d’entrée du montage. Montrer que cette impédance est équivalente à une bobine réelle dont la résistance serait

𝑅

et l’inductance serait

2 𝑅^{2} 𝐶

Coup de pouce 1

Déterminer le courant passant par R et par C.

Coup de pouce 2

Utiliser la loi d’Ohm dans R et éliminer s pour relier courant dans R et entrée e.

Coup de pouce 3

Utiliser la loi d’Ohm dans le dipôle formé par C et 2R pour relier le courant dans C et l’entrée e.

Coup de pouce 4

Utiliser la loi des nœuds pour relier courant d’entrée et tension d’entrée.

Coup de pouce 5

Mettre l’impédance d’entrée sous la forme r+jLw avec r et L à trouver.

Corrigé

D’après la loi d’Ohm, le courant passant par R est

𝑖_{𝑅} = \frac{𝑒 - 𝑠}{𝑅} = \frac{1}{𝑅} (𝑒 - \frac{3 𝑗 𝑅 𝐶 𝜔}{1 + 2 𝑗 𝑅 𝐶 𝜔} 𝑒) = \frac{1}{𝑅} \frac{1 + 2 𝑗 𝑅 𝐶 𝜔 - 3 𝑗 𝑅 𝐶 𝜔}{1 + 2 𝑗 𝑅 𝐶 𝜔} 𝑒 = \frac{1}{𝑅} \frac{1 - 𝑗 𝑅 𝐶 𝜔}{1 + 2 𝑗 𝑅 𝐶 𝜔} 𝑒

Le condensateur $𝐶$ et le résistor $2 𝑅$ sont en série (ils sont parcourus par le même courant car le courant entrant dans l’ALI est nul). Leur impédance équivalente est donc

𝑍_{éq} = \frac{1}{𝑗 𝐶 𝜔} + 2 𝑅

Le courant les traversant est donc

𝑖_{𝐶} = \frac{𝑒}{𝑍_{éq}} = \frac{𝑒}{\frac{1}{𝑗 𝐶 𝜔} + 2 𝑅} = \frac{𝑗 𝐶 𝜔}{1 + 2 𝑗 𝑅 𝐶 𝜔} 𝑒

Ainsi, le courant d’entrée est

𝑖_{𝑒} = 𝑖_{𝑅} + 𝑖_{𝐶} = \frac{1}{𝑅} (\frac{1 - 𝑗 𝑅 𝐶 𝜔}{1 + 2 𝑗 𝑅 𝐶 𝜔} + \frac{𝑗 𝑅 𝐶 𝜔}{1 + 2 𝑗 𝑅 𝐶 𝜔}) 𝑒 = \frac{1}{𝑅} \frac{1}{1 + 2 𝑗 𝑅 𝐶 𝜔} 𝑒

Soit une impédance d’entrée

𝑍_{𝑒} = \frac{𝑒}{𝑖_{𝑒}} = 𝑅 (1 + 2 𝑗 𝑅 𝐶 𝜔) = 𝑅 + 𝑗 2 𝑅^{2} 𝐶 𝜔

Ce dipôle est équivalent à une bobine réelle dont la résistance serait $𝑅$ et l’inductance serait $2 𝑅^{2} 𝐶$

Simulateur d’impédance ★★