Montage intégrateur — Électronique 2 : Rétroaction

On considère le montage suivant, appelé montage intégrateur. L’ALI est supposé idéal.

Coup de pouce 1

Y a-t-il une rétroaction ? Est-elle positive ou négative ?

Corrigé

La rétroaction négative suggère un fonctionnement stable de l’ALI.

Coup de pouce 1

Passer en notations complexes et utiliser l’impédance du condensateur.

Coup de pouce 2

Utiliser le pont diviseur de tension pour relier l’entrée du montage, l’entrée différentielle et la sortie.

Corrigé

En complexe, le condensateur a pour impédance $𝑍_{𝐶} = \frac{1}{𝑗 𝜔 𝐶}$ . Comme le courant d’entrée de l’ALI est nul, le pont diviseur de tension permet d’écrire

𝑉_{-} - 𝑉_{𝑒} = \frac{𝑅}{𝑅 + 𝑍_{𝐶}} (𝑉_{𝑠} - 𝑉_{𝑒})

Or l’ALI est idéal et en fonctionnement stable donc $𝑉_{-} = 0$ , d’où

𝑉_{𝑒} (- 1 + \frac{𝑅}{𝑅 + 𝑍_{𝐶}}) = \frac{𝑅}{𝑅 + 𝑍_{𝐶}} 𝑉_{𝑠}

\frac{- 𝑍_{𝐶}}{𝑅 + 𝑍_{𝐶}} 𝑉_{𝑒} = \frac{𝑅}{𝑅 + 𝑍_{𝐶}} 𝑉_{𝑠}

𝐻 (𝑗 𝜔) = \frac{𝑉_{𝑠}}{𝑉_{𝑒}} = - \frac{𝑍_{𝐶}}{𝑅} = - \frac{1}{𝑗 𝜔 𝑅 𝐶}

Coup de pouce 1

Pas besoin d’utiliser des équivalents haute et basse fréquence car la fonction de transfert est suffisamment simple.

Corrigé

𝐺_{dB} = 20 log | 𝐻 | = 20 log (\frac{1}{𝑅 𝐶 𝜔}) = - 20 log (\frac{𝜔}{𝜔_{0}})

avec $𝜔_{0} = \frac{1}{𝑅 𝐶}$ Le diagramme de Bode est donc une droite de pente $- 20$ ⁠⁠ $dB$ par décade.

Le gain est nul lorsque $𝜔 = 𝜔_{0}$ , ce qui correspond donc à l’intersection de la droite avec l’axe des abscisses.

4/ À partir de la fonction de transfert, déterminer l’équation différentielle vérifiée par la tension de sortie et la tension d’entrée. Justifier le nom du montage.

Coup de pouce 1

Exprimer la tension de sortie en fonction de l’entrée dans le domaine de Laplace ou fréquentiel puis passer en temporel.

Corrigé

En passant en temporel l’équation $𝑗 𝜔 𝑉_{𝑠} = - \frac{1}{𝑅 𝐶} 𝑉_{𝑒}$ , on obtient

\frac{d 𝑣_{𝑠}}{d 𝑡} = - \frac{1}{𝑅 𝐶} 𝑣_{𝑒}

qu’on peut réécrire

𝑣_{𝑠} = - \frac{1}{𝑅 𝐶} \int_{0}^{𝑡} 𝑣_{𝑒} (𝑥) d 𝑥