Effet de la vitesse de balayage sur un signal sinusoïdal

🖥️ Effet de la vitesse de balayage sur un signal sinusoïdal ★

Notebook Capytale de cet exercice : 506a-11678445

On s’intéresse ici à un montage suiveur dont l’entrée est sinusoïdale. Si la fréquence de la sinusoïde est trop élevée, la vitesse de balayage de l’ALI va déformer le signal. On cherche à simuler numériquement la forme du signal de sortie obtenu.

Le signal d’entrée noté $𝑒 (𝑡) = 𝐴 sin (2 𝜋 𝑓 𝑡)$ avec $𝐴 = 10 V$ et $𝑓 = 300 kHz$ est envoyé à l’entrée du montage suiveur.

1/ Quelle valeur minimale doit avoir la vitesse de balayage pour que le signal de sortie ne soit pas déformé ?

Coup de pouce 1

Quelle valeur maximale peut atteindre la dérivée de la tension de sortie si elle suit parfaitement l’entrée ?

Coup de pouce 2

Que représente la vitesse de balayage de l’ALI ?

Corrigé

Si le signal de sortie n’est pas déformé, il est égal au signal d’entrée et sa dérivée vaut

𝑠^{'} (𝑡) = 𝑒^{'} (𝑡) = 2 𝜋 𝑓 𝐴 cos (2 𝜋 𝑓 𝑡)

Sa valeur maximale est donc $2 𝜋 𝑓 𝐴 = 1,9$ ⋅107 V s−1, la vitesse de balayage doit être au moins égale à cette valeur pour ne pas avoir de déformation.

L’ALI simulé a une vitesse de balayage de $14$ ⁠⁠ $V {µs}^{- 1}$ .

2/ Compléter le code suivant pour mettre en place les variables nécessaires à la simulation.

import numpy as np
f = 300e3        # fréquence du signal d'entrée (Hz)
SR = 14e6        # vitesse de balayage de l'ALI (V/s)
N = 20000        # nombre de points de la simulation
n_périodes = 4   # nombre de périodes du signal à simuler
A = 10           # amplitude du signal d'entrée (V)

T = ...        # période du signal d'entrée (s)
t = np.linspace(0, n_périodes * T, N) # tableau des instants de la simulation (s)
dt = ... # période d'échantillonnage de la simulation (s)

e = ... # signal d'entrée (V)

Coup de pouce 1

La période d’échantillonnage est le temps entre deux instants consécutifs.

Coup de pouce 2

La fonction sin de la bibliothèque numpy peut s’appliquer directement à un tableau et renvoie alors un tableau.

Corrigé

import numpy as np
f = 300e3        # fréquence du signal d'entrée (Hz)
SR = 14e6        # vitesse de balayage de l'ALI (V/s)
N = 20000        # nombre de points de la simulation
n_périodes = 4   # nombre de périodes du signal à simuler
A = 10           # amplitude du signal d'entrée (V)

T = 1 / f        # période du signal d'entrée (s)
t = np.linspace(0, n_périodes * T, N) # tableau des instants de la simulation (s)
dt = t[1] - t[0] # période d'échantillonnage de la simulation (s)

e = A * np.sin(2 * np.pi * f * t) # signal d'entrée (V)

Le principe de la simulation est le suivant : à chaque instant, on calcule la dérivée qu’aurait la sortie si elle suivait parfaitement l’entrée.

Si cette dérivée ne dépasse pas la vitesse de balayage, aucun problème, la sortie suit l’entrée.
Si cette dérivée dépasse la vitesse de balayage (resp. est plus petite que l’opposé de la vitesse de balayage), la sortie ne peut pas suivre l’entrée. La sortie augmente (resp. diminue) linéairement à la vitesse de balayage.

3/ Compléter le code suivant pour simuler l’évolution de la tension de sortie de l’ALI.

s = [e[0]] # initialisation : la sortie est initialement égale à l'entrée
for i in ...: # on parcourt tous les instants de la simulation
    if abs(s[i-1] - e[i]) / dt < SR: # la vitesse de balayage n'est pas dépassée
        s.append(...)
    elif e[i] > s[i-1]: # la sortie doit croitre
        s.append(...)
    else: # la sortie doit décroitre
        s.append(...)

Corrigé

s = [e[0]] # initialisation : la sortie est initialement égale à l'entrée
for i in range(1, N):
    if abs(s[i-1] - e[i]) / dt < SR: # la vitesse de balayage n'est pas dépassée
        s.append(e[i])
    elif e[i] > s[i-1]: # la sortie doit croitre
        s.append(s[i-1] + SR*dt)
    else: # la sortie doit décroitre
        s.append(s[i-1] - SR*dt)

Les instructions suivantes permettent de tracer les signaux d’entrée et de sortie simulés.

import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(t,e, label='Entrée')
plt.plot(t,s, label='Sortie')
plt.xlabel('Temps (s)')
plt.ylabel('Tensions (V)')
plt.title('Effet de la vitesse de balayage sur un signal sinusoïdal')
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

4/ Le résultat de la simulation est-il conforme à votre réponse à la première question ?

Corrigé

La sortie diffère effectivement de l’entrée, ce qui est attendu car la vitesse de balayage de l’ALI est inférieure à la valeur minimale calculée à la première question. Le signal de sortie est donc déformé par rapport au signal d’entrée.