Électronique 2
Rétroaction

Résumé du cours

1. Présentation de l’amplificateur linéaire intégré (ALI)

1.1. Découverte

L’ALI est aussi appelé amplificateur opérationnel.

L’ALI est un composant électronique actif1, donc il doit être alimenté. L’alimentation de l’ALI est symétrique +𝑉cc, −𝑉cc. Souvent 𝑉cc=15 V.

Schéma 1 – Symboles de l’ALI

1.2. Modèle de l’ALI

L’entrée différentielle est la différence de potentiel entre l’entrée non-inverseuse et l’entrée inverseuse : 𝜀=𝑉+−𝑉−.

Manipulation 1 – Découverte expérimentale de l’ALI 🙌
On place un signal sinusoïdal venant d’un GBF en entrée d’un ALI alimenté en 15⁠ ⁠V et −15⁠ ⁠V et on observe la tension de sortie sur un oscilloscope.
Point clé 1 – Fonction de transfert de l’ALI ♥︎

Hypothèse : Le régime est linéaire

𝐴(𝑝)=𝑆(𝑝)𝜀(𝑝)=𝐴01+𝜏𝑝
avec 𝐴(𝑝) la fonction de transfert de l’ALI (sans unité) ; 𝑆(𝑝) la sortie de l’ALI (V) ; 𝜀 l’entrée différentielle de l’ALI (V) ; 𝐴0 le gain statique de l’ALI (sans unité) ; 𝜏 le temps de réponse de l’ALI (s).

La fréquence de coupure 12𝜋𝜏∼10 Hz est trop faible pour la plupart des applications et le gain est très élevé et ne peut pas être réglé. L’ALI ne peut donc pas être utilisé seul. On utilise l’ALI dans des montages permettant de surmonter ces limitations.

Manipulation 2 – Saturation de l’ALI 🙌
On reprend la manipulation précédente et on augmente l’amplitude du GBF.
Point clé 2 – Saturation ♥︎

La tension de sortie est bornée : 𝑠(𝑡)∈[−𝑉sat,𝑉sat]

avec 𝑠 la sortie de l’ALI (V) ; 𝑉sat ≲𝑉cc la tension de saturation de l’ALI (V) ; 𝑉cc la tension d’alimentation de l’ALI (V).
Résistance d’entrée
La résistance d’entrée 𝑅𝑒 est très élevée sur les deux entrées. Le courant d’entrée 𝑖𝑒=𝑒𝑅𝑒 est donc très faible.
Application 1 ✍
Déterminer le courant d’entrée pour l’entrée maximale admissible.
Résistance de sortie
La résistance de sortie est très faible. La tension de sortie est donc indépendante du courant de sortie.

1.3. Limitations du modèle de l’ALI

Le modèle présenté dans la partie précédente a des limites.

Manipulation 3 – Vitesse de balayage 🙌
On reprend le montage précédent et on remplace le signal sinusoïdal par un signal créneau.
Vitesse de balayage
La dérivée de la tension de sortie est bornée à une valeur appelée vitesse de balayage (slew rate en anglais). La tension de sortie ne peut pas croitre ou décroitre plus rapidement que la vitesse de balayage.
Application 2 ✍
Que vaut la vitesse de balayage pour l’ALI utilisé en TP ?
Courant de sortie
Le courant de sortie est borné et peut donc saturer.
Application 3 ✍
Quelle résistance peut-on mettre en sortie de l’ALI utilisé en TP tout en restant sûr que le courant de sortie ne sature pas ?

1.4. Modèle de l’ALI idéal

Dans le modèle de l’ALI idéal, le gain statique est infini et le temps de réponse est nul.

Dans le modèle de l’ALI idéal, deux régimes existent :

Point clé 3 – Comportement de l’ALI idéal

Hypothèse : L’ALI est idéal (gain statique infini et temps de réponse nul)

Régime saturé
si 𝜀>0 alors 𝑠(𝑡)=𝑉sat
si 𝜀<0 alors 𝑠(𝑡)=−𝑉sat

Régime linéaire

𝜀=0
avec 𝜀 l’entrée différentielle de l’ALI (V) ; 𝑠 la sortie de l’ALI (V) ; 𝑉sat ≲𝑉cc la tension de saturation de l’ALI (V).

2. L’ALI dans un montage avec rétroaction négative

2.1. Notion de rétroaction

La rétroaction est la prise en compte de la sortie d’un système à son entrée. Le système est alors bouclé.

Exemple 1
https://youtu.be/MFzDaBzBlL0

Je fais du vélo au milieu d’une route droite. J’observe ma trajectoire. Je vois que je suis un peu trop à droite. Deux options s’offrent à moi :

Je peux commander à mon vélo d’aller vers la gauche
Il s’agit d’une rétroaction négative2 : elle tend à annuler les variations de la sortie. Je vais me rapprocher du milieu de la route.
Je peux commander à mon vélo d’aller vers la droite
Il s’agit d’une rétroaction positive : elle tend à amplifier les variations de la sortie. Je vais m’éloigner de plus en plus et de plus en plus vite du milieu de la route.
Point clé 4 – Effet d’une rétroaction ♥︎

Une rétroaction négative suggère un fonctionnement stable.

Une rétroaction positive ou une absence de rétroaction suggère un fonctionnement instable.

Application 4 ✍

Pour chacune des rétroactions suivantes, dire si elles sont positives ou négatives et dire si elles tendent à stabiliser ou déstabiliser le système.

  1. Plus il fait chaud, plus l’air contient de vapeur d’eau (qui est un gaz à effet de serre).
  2. Plus le climat se réchauffe, plus le permafrost fond, ce qui libère du méthane, un puissant gaz à effet de serre.
  3. Plus il fait chaud, plus l’eau s’évapore et plus il y a de nuages (qui bloquent une partie du rayonnement solaire vers l’espace).
  4. Le robinet thermostatique du radiateur s’ouvre davantage lorsqu’il fait froid, laissant ainsi circuler l’eau chaude du chauffage central.
  5. Un excès de graisse dans le corps perturbe la régulation hormonale de la satiété et amplifie la sensation de faim.

2.2. Le montage amplificateur non-inverseur

Le montage étudié dans cette partie est couramment utilisé pour amplifier des signaux. Amplifier des signaux est une tâche très utile et très répandue.

Exemple 2
Amplification d’un signal audio, d’un signal en provenance d’un instrument de mesure, …
Schéma 2 – Montage amplificateur non-inverseur
Point clé 5 – Schéma bloc de l’amplificateur non-inverseur ✍

Hypothèses :

  • circuit dans l’ARQS
  • ALI en régime linéaire
avec 𝑆(𝑝) la sortie du montage (V) ; 𝐸(𝑝) l’entrée du montage (V) ; 𝜀 l’entrée différentielle de l’ALI (V) ; 𝐴0 le gain statique de l’ALI (sans unité) ; 𝜏 le temps de réponse de l’ALI (s) ; 𝑅1 une résistance (Ω) ; 𝑅2 une résistance (Ω).

Ce schéma bloc explicite le caractère bouclé du montage amplificateur non-inverseur. La sortie est renvoyée à l’entrée inverseuse de l’ALI par l’intermédiaire d’un pont diviseur de tension.

La plupart des montages utilisant un ALI sont des systèmes bouclés comportant une rétroaction.

Point clé 6 – Fonction de transfert de l’amplificateur non-inverseur ✍

Hypothèses :

  • circuit dans l’ARQS
  • ALI en régime linéaire
  • 𝑅1 et 𝑅2 sont du même ordre de grandeur.
𝐻(𝑝)=1+𝑅2𝑅11+(1+𝑅2𝑅1)𝜏𝐴0𝑝
avec 𝐻(𝑝) =𝑆(𝑝)𝐸(𝑝) la fonction de transfert du montage (sans unité) ; 𝑆(𝑝) la sortie du montage (V) ; 𝐸(𝑝) l’entrée du montage (V) ; 𝜀 l’entrée différentielle de l’ALI (V) ; 𝐴0 le gain statique de l’ALI (sans unité) ; 𝜏 le temps de réponse de l’ALI (s) ; 𝑅1 une résistance (Ω) ; 𝑅2 une résistance (Ω).

2.3. Stabilité

Le montage amplificateur non-inverseur est stable.

Si l’ALI est hors saturation, comme son gain est très grand, l’entrée différentielle est quasi-nulle.

Point clé 7 – Stabilité d’un montage avec rétroaction négative ♥︎

Hypothèse : Il y a une rétroaction négative

Le système est généralement stable et 𝜀 est faible.

avec 𝜀 l’entrée différentielle de l’ALI (V).

2.4. Bande passante

Point clé 8 – Bande passante du montage amplificateur non-inverseur ✍

Hypothèses :

  • Le circuit est dans l’ARQS.
  • L’ALI est en régime linéaire.
  • 𝑅1 et 𝑅2 sont du même ordre de grandeur.
Δ𝜔=𝐴0𝜏𝐻0
avec Δ𝜔 la bande passante (rad s−1) ; 𝐴0 le gain statique de l’ALI (sans unité) ; 𝜏 le temps de réponse de l’ALI (s) ; 𝐻0 =1+𝑅2𝑅1 le gain statique de l’amplificateur non-inverseur (sans unité).
Application 5 ✍
Calculer la bande passante d’un amplificateur non-inverseur ayant un gain de 100 réalisé avec un ALI utilisé en TP.
Manipulation 4 – Amplificateur non-inverseur 🙌
On réalise le montage de l’amplificateur non-inverseur et on place en entrée un signal sinusoïdal. On observe la sortie sur un oscilloscope.

La bande passante de l’amplificateur non-inverseur est considérablement plus grande que celle de l’ALI. Le gain de l’amplificateur non-inverseur peut être réglé par les résistances 𝑅1 et 𝑅2. Ceci pallie les défauts de l’ALI comme amplificateur.

Le produit gain bande-passante 𝐻0×Δ𝜔=𝐴0𝜏 ne dépend que de l’ALI. Pour cette raison, le produit gain bande-passante figure sur la notice de l’ALI (gain-bandwidth product).

2.5. Impédance d’entrée

Point clé 9 – Impédance d’entrée d’un montage ♥︎
𝑍𝑒=𝑈𝑒𝐼𝑒
avec 𝑍𝑒 l’impédance d’entrée (Ω) ; 𝑈𝑒 la tension d’entrée (V) ; 𝐼𝑒 le courant d’entrée (A).
Application 6 ✍
Déterminer l’impédance d’entrée de l’amplificateur non-inverseur.

Il est parfois nécessaire d’associer plusieurs filtres en cascade. Il est alors nécessaire que chaque filtre ne perturbe pas celui placé en amont et ne soit pas facilement perturbé par celui placé en aval. Pour cela, on cherche à concevoir des filtres ayant une impédance d’entrée élevée et une impédance de sortie faible.

2.6. Étude de l’amplificateur non-inverseur avec un ALI idéal

La présence d’une rétroaction négative stabilisant le montage permet de supposer l’ALI en régime linéaire. Si l’ALI est idéal, la fonction de transfert du montage amplificateur non-inverseur peut être déterminée simplement.

Application 7 ✍
Déterminer la fonction de transfert de l’amplificateur non-inverseur en supposant l’ALI idéal.

3. L’ALI dans un montage avec rétroaction positive : le comparateur à hystérésis négatif

3.1. Présentation du montage

Schéma 3 – Montage comparateur à hystérésis négatif

3.2. Étude de la stabilité

Point clé 10 – Fonction de transfert du comparateur à hystérésis négatif ✍

Hypothèses :

  • Le circuit est dans l’ARQS.
  • L’ALI est en régime linéaire
  • 𝑅1 et 𝑅2 sont du même ordre de grandeur.
𝐻(𝑝)=1𝑅1𝑅1+𝑅2−𝜏𝐴0𝑝
avec 𝐻(𝑝) =𝑆(𝑝)𝐸(𝑝) la fonction de transfert du montage (sans unité) ; 𝑅1 une résistance (Ω) ; 𝑅2 une résistance (Ω) ; 𝜏 le temps de réponse de l’ALI (s) ; 𝐴0 le gain statique de l’ALI (sans unité).

3.3. Stabilité

Le comparateur à hystérésis est un montage instable. Sa sortie diverge, ou plutôt atteint rapidement la saturation. Ainsi 𝑠(𝑡)=±𝑉sat.

Point clé 11 – Stabilité d’un montage avec rétroaction positive ou sans rétroaction

Hypothèse : Il y a une rétroaction positive ou pas de rétroaction.

Le système est généralement instable et la sortie tend rapidement vers ±𝑉sat.

avec 𝑉sat ≲𝑉cc la tension de saturation de l’ALI (V).

3.4. Cycle d’hystérésis

Le comparateur à hystérésis n’étant pas un système linéaire, il ne peut pas être décrit par une fonction de transfert.

Pour décrire le fonctionnement du comparateur à hystérésis, on représente sa sortie en fonction de son entrée dans un diagramme appelé cycle d’hystérésis.

Point clé 12 – Cycle d’hystérésis du comparateur à hystérésis négatif ♥︎✍

Hypothèses :

  • Le circuit est dans l’ARQS.
  • La sortie est stabilisée à sa valeur limite.
avec 𝑅1 une résistance (Ω) ; 𝑅2 une résistance (Ω) ; 𝑉sat ≲𝑉cc la tension de saturation de l’ALI (V).
Manipulation 5 – Cycle d’hystérésis expérimental 🙌
On réalise le montage du comparateur à hystérésis négatif et on place en entrée un signal sinusoïdal. On observe la sortie sur un oscilloscope en mode XY.

3.5. Fonction mémoire

En physique, le mot « hystérésis » renvoie à la notion de mémoire : l’état du système ne dépend pas que de l’état actuel de l’entrée mais aussi de son état passé.

Point clé 13 – Effet mémoire du comparateur à hystérésis ✍
avec 𝑅1 une résistance (Ω) ; 𝑅2 une résistance (Ω) ; 𝑉sat ≲𝑉cc la tension de saturation de l’ALI (V) ; 𝑒 l’entrée du montage (V).

Annexe A : Extrait de la notice du TL081

Fig. 1. – Notice du TL081 - caractéristiques électriques (page 3)

Fig. 2. – Notice du TL081 - caractéristiques électriques (page 2)
  1. 1Un composant actif est un composant qui fournit de l’énergie au circuit dans lequel il est connecté.
  2. 2Notez qu’il ne s’agit pas d’un jugement sur le résultat de l’action. La rétroaction est négative si elle va à l’encontre de la situation actuelle, que cela soit souhaitable ou non.