Compétition de rétroactions — Électronique 2 : Rétroaction

On s’intéresse au montage ci-dessous. L’ALI est supposé non idéal, de fonction de transfert

Coup de pouce 1

Grâce à un pont diviseur de tension, relier le potentiel de l’entrée inverseuse à s et e.

Coup de pouce 2

Grâce à un pont diviseur de tension, relier le potentiel de l’entrée non-inverseuse à s.

Coup de pouce 3

À partir des deux ponts diviseurs de tension, relier l’entrée différentielle à s et e.

Coup de pouce 4

Utiliser la fonction de transfert de l’ALI pour éliminer l’entrée différentielle de l’équation.

Corrigé

Les courants d’entrée de l’ALI sont supposés négligeables, on peut donc appliquer le pont diviseur de tension à chacune des deux entrées de l’ALI :

𝑉_{+} = \frac{𝑅}{𝑅 + 𝑘 𝑅} 𝑠 = \frac{1}{1 + 𝑘} 𝑠

𝑉_{-} - 𝑒 = \frac{𝑅}{𝑅 + 𝑅} (𝑠 - 𝑒) = \frac{1}{2} (𝑠 - 𝑒)

soit

𝑉_{-} = \frac{𝑠 + 𝑒}{2}

On a alors

𝜀 = 𝑉_{+} - 𝑉_{-} = \frac{1}{1 + 𝑘} 𝑠 - \frac{1}{2} (𝑠 + 𝑒) = (\frac{1}{1 + 𝑘} - \frac{1}{2}) 𝑠 - \frac{1}{2} 𝑒

ce qui donne dans le domaine de Laplace

𝜀 (𝑝) = (\frac{1}{1 + 𝑘} - \frac{1}{2}) 𝑆 (𝑝) - \frac{1}{2} 𝐸 (𝑝)

On peut alors replacer $𝜀 (𝑝)$ en utilisant la fonction de transfert de l’ALI : $𝜀 (𝑝) = \frac{1 + 𝜏 𝑝}{𝐴_{0}} 𝑆 (𝑝)$

\frac{1 + 𝜏 𝑝}{𝐴_{0}} 𝑆 (𝑝) = (\frac{1}{1 + 𝑘} - \frac{1}{2}) 𝑆 (𝑝) - \frac{1}{2} 𝐸 (𝑝)

𝑆 (𝑝) (\frac{1 + 𝜏 𝑝}{𝐴_{0}} - (\frac{1}{1 + 𝑘} - \frac{1}{2})) = - \frac{1}{2} 𝐸 (𝑝)

On obtient alors la fonction de transfert du système

𝐻 (𝑝) = \frac{𝑆 (𝑝)}{𝐸 (𝑝)} = \frac{- \frac{1}{2}}{(\frac{1}{2} - \frac{1}{1 + 𝑘} + \frac{1}{𝐴_{0}}) + \frac{𝜏}{𝐴_{0}} 𝑝}

$𝐴_{0}$ étant très grand devant $1$ , on peut simplifier la fonction de transfert en

𝐻 (𝑝) = \frac{𝑆 (𝑝)}{𝐸 (𝑝)} = \frac{- \frac{1}{2}}{(\frac{1}{2} - \frac{1}{1 + 𝑘}) + \frac{𝜏}{𝐴_{0}} 𝑝}

Coup de pouce 1

Regrouper les termes de même ordre du dénominateur de la fonction de transfert. Comparer leur signe.

Corrigé

Le système est d’ordre 1, le système est donc stable si et seulement si les coefficients du dénominateur sont de même signe, c’est-à-dire si et seulement si

\begin{aligned} \frac{1}{2} - \frac{1}{1 + 𝑘} > 0 \\ ⟺ & \frac{1}{2} > \frac{1}{1 + 𝑘} \\ ⟺ & 2 < 1 + 𝑘 \\ ⟺ & 1 < 𝑘 \end{aligned}

Compétition de rétroactions ★★