Stabilité en mécanique

On étudie un point matériel dont l’énergie potentielle dépend de la position $𝑥$ selon la loi $𝐸_{𝑝} (𝑥) = 𝛼 𝑥^{2}$ .

1/ Proposer une situation physique correspondant à cette loi d’énergie potentielle.

Coup de pouce 1

Quelques formes d’énergie potentielle sont à connaitre. Laquelle est quadratique (c’est-à-dire fait apparaitre un carré) ?

Coup de pouce 2

Les énergies potentielles à connaitre sont l’énergie potentielle de pesanteur, l’énergie potentielle élastique et l’énergie potentielle électrostatique.

Corrigé

L’énergie potentielle élastique d’un ressort est

𝐸_{𝑝} = \frac{1}{2} 𝑘 {(𝑙 - 𝑙_{0})}^{2}

. En notant l’allongement

𝑥 = 𝑙 - 𝑙_{0}

𝛼 = \frac{1}{2} 𝑘

, on retrouve la loi donnée.

2/ Établir l’équation différentielle vérifiée par la position $𝑥 (𝑡)$ du point matériel.

Coup de pouce 1

Utiliser un théorème énergétique.

Coup de pouce 2

Utiliser le théorème de la puissance mécanique.

Corrigé

L’énergie mécanique est

𝐸_{𝑚} = 𝐸_{𝑐} + 𝐸_{𝑝} = \frac{1}{2} 𝑚 {\dot{𝑥}}^{2} + 𝛼 𝑥^{2}

Le théorème de la puissance mécanique appliqué au point matériel donne

\frac{d 𝐸_{𝑚}}{d 𝑡} = 0

𝑚 \dot{𝑥} \ddot{𝑥} + 2 𝛼 𝑥 \dot{𝑥} = 0

soit, en simplifiant

𝑚 \ddot{𝑥} + 2 𝛼 𝑥 = 0

3/ À quelle condition sur le paramètre $𝛼$ le point matériel a-il un mouvement stable ?

Corrigé

Le système est stable si tous les coefficients de l’équation différentielle (d’ordre 2) sont positifs. Ici, le coefficient de

𝑥

est

2 𝛼

. Ainsi, le mouvement est stable si

𝛼 > 0