Oscillateur RLC — Électronique 1 : Stabilité des systèmes linéaires

Dans le montage ci-dessous, le générateur impose une tension

𝑈

proportionnelle au courant

𝑖

qui le traverse. On note

𝛼

le coefficient de proportionnalité, de sorte que

𝑢 = 𝛼 𝑖

Coup de pouce 1

Il peut être plus simple de passer par le domaine fréquentiel avant de revenir au domaine temporel.

Coup de pouce 2

Écrire la loi des mailles dans le domaine fréquentiel.

Corrigé

Si on passe en complexes, on a le circuit suivant

La loi des mailles s’écrit alors

𝑢 - 𝑅 𝑖 - \frac{1}{𝑗 𝐶 𝜔} 𝑖 - 𝑗 𝐿 𝜔 𝑖 = 0

soit, en multipliant par $𝑗 𝐶 𝜔$ ,

𝑗 𝐶 𝜔 𝑢 - 𝑗 𝑅 𝐶 𝜔 𝑖 - 𝑖 - 𝐿 𝐶 {(𝑗 𝜔)}^{2} 𝑖 = 0

or $𝑢 = 𝛼 𝑖$ , on a donc

𝑗 𝐶 𝜔 𝛼 𝑖 - 𝑗 𝑅 𝐶 𝜔 𝑖 - 𝑖 - 𝐿 𝐶 {(𝑗 𝜔)}^{2} 𝑖 = 0

𝑗 (𝑅 - 𝛼) 𝐶 𝜔 𝑖 + 𝑖 + 𝐿 𝐶 {(𝑗 𝜔)}^{2} 𝑖 = 0

ce qui donne en revenant au domaine temporel

𝐿 𝐶 \frac{d^{2} 𝑖}{d 𝑡^{2}} + (𝑅 - 𝛼) 𝐶 \frac{d 𝑖}{d 𝑡} + 𝑖 = 0

Oscillateur RLC ★