Filtres et fonctions de transfert — Électronique 1 : Stabilité des systèmes linéaires

1/ Proposer deux circuits électroniques différents réalisant un filtre passe-haut du premier ordre.

Coup de pouce 1

Proposer un circuit avec un résistor et un condensateur et un autre avec un résistor et une bobine.

Coup de pouce 2

Utiliser les équivalents haute et basse fréquence pour savoir comment les agencer.

Corrigé

On propose un premier circuit composé d’un condensateur et d’un résistor.

On vérifie en étudiant les équivalents haute et basse fréquence que ce circuit est bien un filtre passe-haut.

En haute fréquence: le condensateur se comporte comme un court-circuit et le signal de sortie est donc égal au signal d’entrée.
En basse fréquence: le condensateur se comporte comme un circuit ouvert, aucun courant ne parcourt le résistor et la tension à ses bornes $𝑅 \times 𝑖$ est donc nulle.

On propose un second circuit composé d’une bobine et d’un résistor.

On vérifie en étudiant les équivalents haute et basse fréquence que ce circuit est bien un filtre passe-haut.

En haute fréquence: la bobine se comporte comme un interrupteur ouvert, aucun courant ne parcourt le résistor et la tension à ses bornes $𝑅 \times 𝑖$ est donc nulle. Il en resulte que le signal de sortie est égal à celui d’entrée.
En basse fréquence: la bobine se comporte comme un fil, la tension à ses bornes (c’est-à-dire la tension de sortie) est nulle.

2/ Donner (sans les redémontrer) les fonctions de transfert des ces deux circuits.

Coup de pouce 1

Utiliser la forme canonique (connue) de la fonction de transfert d’un filtre passe-bas d’ordre 1.

Coup de pouce 2

Utiliser l’analyse dimensionnelle pour écrire une expression homogène.

Corrigé

Les fonctions de transfert sont

𝐻 (𝑗 𝜔) = \frac{𝑗 𝜔 𝑅 𝐶}{1 + 𝑗 𝜔 𝑅 𝐶} pour le circuit RC, et

𝐻 (𝑗 𝜔) = \frac{𝑗 𝜔 \frac{𝐿}{𝑅}}{1 + 𝑗 𝜔 \frac{𝐿}{𝑅}} pour le circuit RL.

Corrigé

Les dénominateurs de fonctions de transfert ne comportent que des coefficients positifs, donc les deux circuits sont stables.

Remarque : les circuits passifs sont toujours stables.