Étude de fonctions de transfert — Électronique 1 : Stabilité des systèmes linéaires

Pour chacune des fonctions de transfert ci-dessous, donner l’équation différentielle associée et dire si elles décrivent un système stable ou instable.

Corrigé

\begin{matrix} 𝐻 (𝑝) = \frac{𝑆 (𝑝)}{𝐸 (𝑝)} = \frac{𝑝}{1 + 𝑝} \\ (1 + 𝑝) 𝑆 (𝑝) = 𝐸 (𝑝) \\ 𝑆 (𝑝) + 𝑝 𝑆 (𝑝) = 𝐸 (𝑝) \\ 𝑠 (𝑡) + \frac{d 𝑠}{d 𝑡} = 𝑒 (𝑡) \\ 𝟏 𝑠 (𝑡) + 𝟏 \frac{d 𝑠}{d 𝑡} = 𝑒 (𝑡) \end{matrix}

Les deux coefficient (1 et 1) sont de même signe, le système est donc stable.

Corrigé

\begin{matrix} 𝐻 (𝑝) = \frac{𝑆 (𝑝)}{𝐸 (𝑝)} = \frac{𝑝^{2}}{1 - 𝑝 + 𝑝^{2}} \\ (1 - 𝑝 + 𝑝^{2}) 𝑆 (𝑝) = 𝐸 (𝑝) \\ 𝑆 (𝑝) - 𝑝 𝑆 (𝑝) + 𝑝^{2} 𝑆 (𝑝) = 𝐸 (𝑝) \\ 𝑠 (𝑡) - \frac{d 𝑠}{d 𝑡} + \frac{d^{2} 𝑠}{d 𝑡^{2}} = 𝑒 (𝑡) \\ 𝟏 𝑠 (𝑡) + (- 𝟏) \frac{d 𝑠}{d 𝑡} + 𝟏 𝑑^{2} 𝑣 (𝑠, 𝑡) = 𝑒 (𝑡) \end{matrix}

Les coefficients sont de signes différents (1, −1 et 1), le système est donc instable.

𝐻 = \frac{1}{1 + 𝑗 𝑄 (\frac{𝜔}{𝜔_{0}} - \frac{𝜔_{0}}{𝜔})}

Corrigé

\begin{matrix} 𝐻 (𝑗 𝜔) = \frac{𝑆 (𝑗 𝜔)}{𝐸 (𝑗 𝜔)} = \frac{1}{1 + 𝑗 𝑄 (\frac{𝜔}{𝜔_{0}} - \frac{𝜔_{0}}{𝜔})} \\ (1 + 𝑗 𝑄 (\frac{𝜔}{𝜔_{0}} - \frac{𝜔_{0}}{𝜔})) 𝑆 (𝑗 𝜔) = 𝐸 (𝑗 𝜔) \\ 𝑆 (𝑗 𝜔) + 𝑗 𝑄 \frac{𝜔}{𝜔_{0}} 𝑆 - 𝑗 𝑄 \frac{𝜔_{0}}{𝜔} 𝑆 (𝑗 𝜔) = 𝐸 (𝑗 𝜔) \end{matrix}

Pour passer en temporel, il est plus commode de faire disparaitre les $𝑗 𝜔$ au dénominateur. On multiplie donc par $𝑗 𝜔$ :

\begin{matrix} 𝑗 𝜔 𝑆 (𝑗 𝜔) + 𝑗^{2} 𝑄 \frac{𝜔^{2}}{𝜔_{0}} 𝑆 - 𝑗^{2} 𝑄 𝜔_{0} 𝑆 (𝑗 𝜔) = 𝑗 𝜔 𝐸 (𝑗 𝜔) \\ 𝑗 𝜔 𝑆 (𝑗 𝜔) + 𝑄 \frac{{(𝑗 𝜔)}^{2}}{𝜔_{0}} 𝑆 + 𝑄 𝜔_{0} 𝑆 (𝑗 𝜔) = 𝑗 𝜔 𝐸 (𝑗 𝜔) \end{matrix}

\frac{d 𝑠}{d 𝑡} + \frac{𝑄}{𝜔_{0}} \frac{d^{2} 𝑠}{d 𝑡^{2}} + 𝑄 𝜔_{0} 𝑠 (𝑡) = \frac{d 𝑒}{d 𝑡}

Les coefficients sont de même signe ( $1$ , $\frac{𝑄}{𝜔_{0}}$ et $𝑄 𝜔_{0}$ ), le système est donc stable.