Électronique 1 Stabilité des systèmes linéaires

Application 1 ✍

Pour chacune des deux équations différentielles ci-dessous, dire si ses solutions divergent ou non.

\frac{d 𝑦}{d 𝑡} - 2 𝑦 = 1

\frac{d^{2} 𝑦}{d 𝑡^{2}} + 2 \frac{d 𝑦}{d 𝑡} + 3 𝑦 = 4

À la fin de ce chapitre, vous saurez répondre à cette question en un coup d’œil et sans calculs.

1.1. Système linéaire

Un système est un dispositif qui traite une ou des entrées et produit une ou des sorties.

Schéma 1 – Système

Exemple 1

Vanne (angle d’un robinet

\to

débit), moteur électrique (tension

\to

vitesse de rotation).

Un système linéaire est un système continu dont la sortie dépend linéairement de l’entrée.

Schéma 2 – Système linéaire

2. Équation différentielle et fonction de transfert

2.1. Exemple introductif : circuit RC série

2.1.1. Point de vue temporel

Point clé 1 – Équation différentielle régissant la tension dans un circuit RC ✍

Hypothèse : le circuit est dans l’ARQS

\frac{d 𝑠}{d 𝑡} + \frac{1}{𝑅 𝐶} 𝑠 (𝑡) = \frac{1}{𝑅 𝐶} 𝑒 (𝑡)

avec

𝑠 (𝑡)

tension aux bornes du condensateur (

V

) ;

𝑒 (𝑡)

tension en entrée du circuit (

V

) ;

𝑅

résistance du résistor (

Ω

) ;

𝐶

capacité du condensateur (

F

2.1.2. Point de vue spectral

Point clé 2 – Fonction de transfert régissant la tension dans un circuit RC ✍

Hypothèse : le circuit est dans l’ARQS

𝑝 𝑆 (𝑝) + \frac{1}{𝑅 𝐶} 𝑆 (𝑝) = \frac{1}{𝑅 𝐶} 𝐸 (𝑝)

avec

𝑆 (𝑝)

grandeur de Laplace associée à la tension aux bornes du condensateur (

V

) ;

𝐸 (𝑝)

grandeur de Laplace associée à la tension en entrée du circuit (

V

) ;

𝑅

résistance du résistor (

Ω

) ;

𝐶

capacité du condensateur (

F

) ;

𝑝

variable de Laplace, assimilable à

𝑗 𝜔

dans le domaine fréquentiel (

rad s^{- 1}

2.2. Relation entre équation différentielle et fonction de transfert

Une forte ressemblance entre les 2 équations précédentes peut être remarquée. Cette ressemblance peut être généralisée.

Point clé 3 – Correspondance entre les domaines ♥︎

Temporel	de Laplace	Fréquentiel
$𝑒 (𝑡)$	$𝐸 (𝑝)$	$𝑒 (𝑗 𝜔)$
$𝑠 (𝑡)$	$𝑆 (𝑝)$	$𝑠 (𝑗 𝜔)$
$\frac{d}{d 𝑡}$	$𝑝$	$𝑗 𝜔$
$\frac{d^{2}}{d 𝑡^{2}}$	$𝑝^{2}$	${(𝑗 𝜔)}^{2} = - 𝜔^{2}$

Application 2 ✍

Déterminer la fonction de transfert associée à l’équation différentielle

\frac{d 𝑠}{d 𝑡} + \frac{1}{𝑅 𝐶} 𝑠 (𝑡) = \frac{d 𝑒}{d 𝑡}

Application 3 ✍

Déterminer l’équation différentielle associée à la fonction de transfert

𝐻 (𝑝) = \frac{1}{1 + 𝑄 (\frac{𝑝}{𝜔_{0}} + \frac{𝜔_{0}}{𝑝})}

3. Stabilité

3.1. Présentation

3.2. Système d’ordre 1

Point clé 4 – Influence du numérateur ♥︎✍

Hypothèse : Le système est linéaire.

Le numérateur de la fonction de transfert n’influence pas la stabilité du système.

Point clé 5 – Critère de stabilité ♥︎✍

Hypothèses :

Le système est linéaire.

Le système est d’ordre 1.

Le système est stable si les 2 coefficients du dénominateur de sa fonction de transfert sont de même signe.

Application 4 ✍

Les fonctions de transfert suivantes correspondent-elles à des systèmes stables ?

𝐻 (𝑗 𝜔) = \frac{1 - 𝑗 𝑅 𝐶 𝜔}{1 + 𝑗 𝑅 𝐶 𝜔}

𝐻 (𝑝) = \frac{1 + 𝑅 𝐶 𝑝}{1 - 𝑅 𝐶 𝑝}

Application 5 ✍

Les équations différentielles suivantes correspondent-elles à des systèmes stables ?

2 \frac{d 𝑠}{d 𝑡} - \frac{𝑅}{𝐿} 𝑠 = \frac{d 𝑒}{d 𝑡} - \frac{𝑅}{𝐿} 𝑒

\frac{d 𝑠}{d 𝑡} + \frac{𝑅}{𝐿} 𝑠 = 0

2 \frac{d 𝑠}{d 𝑡} - \frac{d 𝑒}{d 𝑡} = \frac{𝑅}{𝐿} 𝑒 - \frac{𝑅}{𝐿} 𝑠

3.3. Système d’ordre 2

Point clé 6 – Critère de stabilité ♥︎✍

Hypothèses :

Le système est linéaire.

Le système est d’ordre 2.

Le système est stable si les 3 coefficients du dénominateur de sa fonction de transfert sont de même signe.

Application 6 ✍