Pince ampère-métrique — Électromagnétisme 4 : Matériaux ferromagnétiques

Une pince ampère-métrique sert à mesurer l’intensité d’un courant sans ouvrir le circuit. Elle est schématiquement constituée d’un tore ferromagnétique à base carrée, de côté

𝑎

, milieu doux, non saturé, linéaire de perméabilité

𝜇

, sur lequel sont enroulées

𝑁

spires jointives. La figure montre une coupe transversale du dispositif.

Les spires sont électriquement branchées aux bornes d’une résistance

𝑅

, de valeur très supérieure à celle du bobinage. On note

𝑢 (𝑡)

la tension aux bornes de

𝑅

𝑖 (𝑡)

le courant circulant dans le bobinage et

𝑅

. Le tore est centré sur le fil infiniment long dont on mesure l’intensité

𝐼 (𝑡)

1/ Déterminer le champ

{\vec{𝐻}}_{𝐼}

créé dans tout l’espace par

𝐼 (𝑡)

. En déduire le flux magnétique

Φ_{𝐼}

reçu par le bobinage.

Coup de pouce 1

Effectuer les 4 étapes : analyse des invariances, des symétries, choix de la courbe d’Ampère et théorème d’Ampère (dans un milieu magnétique).

Coup de pouce 2

Sur quelle surface doit-on intégrer B ? Cette surface est-elle dans le tore ou en dehors ?

Coup de pouce 3

Quelle relation existe-t-il entre

𝐵

𝐻

dans un matériau doux ?

Coup de pouce 4

La surface d’une spire est orientée selon

{\vec{𝑒}}_{𝜃}

Corrigé

Invariances Le système est invariant par translation le long de l’axe du fil ( $𝑧$ ), et par rotation autour de cet axe ( $𝜃$ ) donc, d’après le principe de Curie, $\vec{𝐻} (𝑟, 𝜃, 𝑧)$

Symétries Soit $𝑀$ un point. Le plan $(𝑀, {\vec{𝑒}}_{𝑟}, {\vec{𝑒}}_{𝑧})$ est un plan de symétrie donc $\vec{𝐻} = 𝐻 {\vec{𝑒}}_{𝜃}$

Choix de la courbe d’Ampère On choisit une courbe circulaire de rayon $𝑟$ centrée sur l’axe du fil.

Théorème d’Ampère On applique le théorème d’Ampère sur cette courbe : $\oint \vec{𝐻} \cdot \vec{d 𝑙} = \oint 𝐻 {\vec{𝑒}}_{𝜃} \cdot 𝑟 d 𝜃 {\vec{𝑒}}_{𝜃} = 2 𝜋 𝑟 𝐻 = 𝐼_{enlacé} = 𝐼 (𝑡)$ d’où

\vec{𝐻} = \frac{𝐼 (𝑡)}{2 𝜋 𝑟} {\vec{𝑒}}_{𝜃}

Dans le tore (matériau doux hors saturation), on a $\vec{𝐵} = 𝜇 \vec{𝐻}$ donc

{\vec{𝐵}}_{𝐼} = \frac{𝜇 𝐼 (𝑡)}{2 𝜋 𝑟} {\vec{𝑒}}_{𝜃}

On peut alors exprimer le flux sur une spire du bobinage :

Φ_{1 spire} = \iint {\vec{𝐵}}_{𝐼} \cdot \vec{d 𝑆} = \int_{𝑧 = 0}^{𝑎} d 𝑧 \int_{𝑟 = 𝑏}^{𝑏 + 𝑎} d 𝑟 \frac{𝜇 𝐼 (𝑡)}{2 𝜋 𝑟} {\vec{𝑒}}_{𝜃} \cdot {\vec{𝑒}}_{𝜃} = \frac{𝜇 𝐼 (𝑡) 𝑎}{2 𝜋} ln (1 + \frac{𝑎}{𝑏})

Φ_{𝐼} = 𝑁 Φ_{1 spire} = 𝑁 \frac{𝜇 𝐼 (𝑡) 𝑎}{2 𝜋} ln (1 + \frac{𝑎}{𝑏})

2/ Déterminer le flux

Φ_{𝑖}

créé par

𝑖 (𝑡)

et reçu par le bobinage.

Coup de pouce 1

La méthode est très similaire à la question précédente.

Corrigé

Analyse des invariances Le système est invariant par rotation selon $𝜃$ donc, d’après le principe de Curie, $\vec{𝐻} (𝑟, 𝜃, 𝑧)$

Analyse des symétries Soit $𝑀$ un point. Le plan $(𝑀, {\vec{𝑒}}_{𝑟}, {\vec{𝑒}}_{𝑧})$ est un plan de symétrie donc $\vec{𝐻} = 𝐻 {\vec{𝑒}}_{𝜃}$

Choix de la courbe d’Ampère On choisit une courbe circulaire de rayon $𝑟$ centrée sur l’axe du tore.

Théorème d’Ampère On applique le théorème d’Ampère sur cette courbe : $\oint \vec{𝐻} \cdot \vec{d 𝑙} = \oint 𝐻 {\vec{𝑒}}_{𝜃} \cdot d 𝑙 {\vec{𝑒}}_{𝜃} = 2 𝜋 𝑟 𝐻 = 𝐼_{enlacé}$ . Le courant enlacé est nul pour une courbe d’Ampère en dehors du tore. À l’intérieur, il vaut $𝐼_{enlacé} = 𝑖 (𝑡) 𝑁$ d’où l’excitation à l’intérieur du tore :

\vec{𝐻} = \frac{𝑖 (𝑡) 𝑁}{2 𝜋 𝑟} {\vec{𝑒}}_{𝜃}

Dans le tore (matériau doux hors saturation), on a $\vec{𝐵} = 𝜇 \vec{𝐻}$ donc

{\vec{𝐵}}_{𝑖} = \frac{𝜇 𝑁 𝑖 (𝑡)}{2 𝜋 𝑟} {\vec{𝑒}}_{𝜃}

On peut alors exprimer le flux sur une spire du bobinage :

Φ_{1 spire} = \iint {\vec{𝐵}}_{𝑖} \cdot \vec{d 𝑆} = \int_{𝑧 = 0}^{𝑎} d 𝑧 \int_{𝑟 = 𝑏}^{𝑏 + 𝑎} d 𝑟 \frac{𝜇 𝑁 𝑖 (𝑡)}{2 𝜋 𝑟} {\vec{𝑒}}_{𝜃} \cdot {\vec{𝑒}}_{𝜃} = \frac{𝜇 𝑁 𝑖 (𝑡) 𝑎}{2 𝜋} ln (1 + \frac{𝑎}{𝑏})

Φ_{𝑖} = 𝑁 Φ_{1 spire} = 𝑁 \frac{𝜇 𝑁 𝑖 (𝑡) 𝑎}{2 𝜋} ln (1 + \frac{𝑎}{𝑏}) = \frac{𝜇 𝑁^{2} 𝑎}{2 𝜋} ln (1 + \frac{𝑎}{𝑏}) 𝑖 (𝑡)

3/ Établir une équation différentielle liant

𝑢 (𝑡)

𝐼 (𝑡)

Coup de pouce 1

Utiliser la loi de Faraday.

Coup de pouce 2

Représenter le schéma électrique équivalent.

Corrigé

Le flux magnétique sur le tore est $Φ = Φ_{𝑖} + Φ_{𝐼}$ . On peut représenter le schéma électrique équivalent suivant :

On peut en déduire que $𝑢 (𝑡) = 𝑅 𝑖 (𝑡)$ et que $𝑢 (𝑡) = - \frac{d Φ}{d 𝑡} = - \frac{d Φ_{𝑖} + Φ_{𝐼}}{d 𝑡}$ d’où l’équation différentielle :

𝑢 (𝑡) = - \frac{𝜇 𝑁^{2} 𝑎}{2 𝜋 𝑅} ln (1 + \frac{𝑎}{𝑏}) \frac{d 𝑢 (𝑡)}{d 𝑡} - \frac{𝜇 𝑁 𝑎}{2 𝜋} ln (1 + \frac{𝑎}{𝑏}) \frac{d 𝐼 (𝑡)}{d 𝑡}

4/ Quelle est la fonction de transfert

𝐻 (𝑝) = \frac{𝑈 (𝑝)}{𝐼 (𝑝)}

? En déduire comment choisir les paramètres constitutifs de la pince afin que

𝑢

soit directement proportionnel à

𝐼

Coup de pouce 1

Passer l’équation différentielle en complexes.

Coup de pouce 2

𝑢

est proportionnel à

𝐼

si la fonction de transfert est indépendante de

𝑝

Corrigé

En passant en domaine de Laplace, on obtient :

𝑈 (𝑝) = - \frac{𝜇 𝑁^{2} 𝑎}{2 𝜋 𝑅} ln (1 + \frac{𝑎}{𝑏}) 𝑝 𝑈 (𝑝) - \frac{𝜇 𝑁 𝑎}{2 𝜋} ln (1 + \frac{𝑎}{𝑏}) 𝑝 𝐼 (𝑝)

D’où la fonction de transfert :

𝐻 (𝑝) = \frac{𝑈 (𝑝)}{𝐼 (𝑝)} = \frac{- \frac{𝜇 𝑎 𝑁}{2 𝜋} ln (1 + \frac{𝑎}{𝑏}) 𝑝}{1 + \frac{𝑎 𝑁^{2} 𝜇}{2 𝜋 𝑅} ln (1 + \frac{𝑎}{𝑏}) 𝑝}

Pour que $𝑢$ soit proportionnel à $𝐼$ , il faut que la fonction de transfert soit indépendante de $𝑝$ , i.e. que $1 ≪ \frac{𝑎 𝑁^{2} 𝜇}{2 𝜋 𝑅} ln (1 + \frac{𝑎}{𝑏}) 𝑝$ soit $𝑎 𝑁^{2} 𝜇 ln (1 + \frac{𝑎}{𝑏}) 𝜔 ≫ 2 𝜋 𝑅$ .