Permanent magnet — Électromagnétisme 4 : Matériaux ferromagnétiques

We suppose the fields to be unidimensional, we neglect any field leak and any side effect.

1/ What should the hysteresis cycle of a good permanent magnet look like ? Should a soft or hard material be used ?

Coup de pouce 1

Le cycle d’hystérésis doit-il être fin ou épais ?

Corrigé

A good permanent magnet needs to have a wide hysteresis cycle, in order to keep a high remanent magnetization. A hard magnetic material is thus needed.

Coup de pouce 1

Relier

𝐵

𝐻

dans le matériau doux. Que vaut la perméabilité magnétique du matériau doux ?

Corrigé

In the electrical steel, which is a soft magnetic material, we have

{\vec{𝐻}}_{𝑒} = \frac{{\vec{𝐵}}_{𝑒}}{𝜇_{0} 𝜇_{𝑟}}

with

𝜇_{𝑟} ≫ 1

thus

{\vec{𝐻}}_{𝑒} \approx \vec{0}

3/ Show that the magnetic field is the same in the air gap, the permanent magnet and the soft magnetic material.

Coup de pouce 1

Utiliser la conservation du flux de

\vec{𝐵}

sur une petite surface à cheval sur l’interface.

Corrigé

By applying the conservation of the flux of $\vec{𝐵}$ on a small surface straddling the interface between two media, we have :

{\vec{𝐵}}_{𝑔} \cdot \vec{d 𝑆} = {\vec{𝐵}}_{𝑒} \cdot \vec{d 𝑆}

thus

𝐵_{𝑔} = 𝐵_{𝑒}

We can apply the same reasoning at the interface between the permanent magnet and the electrical steel to get

𝐵_{𝑚} = 𝐵_{𝑒}

4/ By applying Ampère’s theorem on a mean field line, find a relation between

𝐵_{𝑚}

and

𝐻_{𝑚}

in the magnet.

Coup de pouce 1

Quel est le courant enlacé par la ligne de champ moyenne ?

Corrigé

By applying Ampère’s theorem on a mean field line, we have :

\oint \vec{𝐻} \cdot \vec{d 𝑙} = 0 = 𝑚 𝐻_{𝑚} + 𝐻_{𝑔} 𝑔 + 𝐻_{𝑒} 𝑙_{𝑒}

But we have seen that ${\vec{𝐻}}_{𝑒} = \vec{0}$ thus $𝑚 𝐻_{𝑚} + 𝑔 𝐻_{𝑔} = 0$ i.e.

𝐻_{𝑚} = - (\frac{𝑔}{𝑚}) 𝐻_{𝑔}

In the air gap, we have $𝐻_{𝑔} = \frac{𝐵_{𝑔}}{𝜇_{0}} = \frac{𝐵_{𝑚}}{𝜇_{0}}$ so finally :

𝐵_{𝑚} = - \frac{𝑚 𝜇_{0}}{𝑔} 𝐻_{𝑚}

5/ Deduce graphically the values of

𝐵_{𝑚}

and

𝐻_{𝑚}

. How many solutions are there ?

Coup de pouce 1

La relation de la question précédente est une fonction linéaire. La représenter graphiquement sur le cycle d’hystérésis.

Corrigé

On trace la droite de pente

- \frac{𝑚 𝜇_{0}}{𝑔} = - 1

⋅10−4 sur la courbe. Elle coupe le cycle d’hystérésis en deux points de coordonnées opposées :

𝐵_{𝑚} = \pm 5

⋅10−3 T et

𝐻_{𝑚} = \mp 4

⋅101 A m−1.