La boussole — Électromagnétisme 4 : Matériaux ferromagnétiques

Cet exercice est un problème ouvert. Il nécessite de prendre des initiatives et de faire des choix dans la modélisation. Des approximations et des estimations sont souvent nécessaires pour arriver à une solution.

Moment d’inertie de l’aiguille de la boussole :

𝐽 = 1

⋅10−6 kg ⁠m2.

Coup de pouce 1

Faire l’inventaire des moments s’exerçant sur l’aiguille de la boussole.

Coup de pouce 2

Rappeler l’expression du TMC (dans sa version en rotation autour d’un axe fixe).

Coup de pouce 3

Montrer que l’équation différentielle régissant le mouvement de l’aiguille est celle d’un oscillateur harmonique et donner l’expression de la période des oscillations.

Coup de pouce 4

La vidéo permet d’estimer la période des oscillations. En déduire le moment magnétique de la boussole.

Corrigé

On étudie l’aiguille de boussole, soumise aux actions :

poids (de moment nul)
force de réaction du support (de moment nul si on suppose la liaison pivot idéale)
l’action du champ magnétique (de moment $\vec{ℳ︀} \land \vec{𝐵}$ )
les frottements (négligés)

On note $𝜃 (𝑡)$ l’angle entre l’aiguille et la composante horizontale du champ magnétique terrestre.

Le TMC s’écrit

𝐽 \frac{d^{2} 𝜃}{d 𝑡^{2}} = (\vec{ℳ︀} \land \vec{𝐵}) \cdot {\vec{𝑒}}_{𝑧} = - ℳ︀ 𝐵 sin (𝜃)

Aux petits angles, on a $sin (𝜃) \approx 𝜃$ , donc l’équation différentielle devient

\frac{d^{2} 𝜃}{d 𝑡^{2}} = - \frac{ℳ︀ 𝐵}{𝐽} 𝜃 = - 𝜔^{2} 𝜃

avec

𝜔 = \sqrt{\frac{ℳ︀ 𝐵}{𝐽}}

Cette équation différentielle est celle d’un oscillateur harmonique de pulsation $𝜔$ .

La période des oscillations est donc

𝑇 = \frac{2 𝜋}{𝜔} = 2 𝜋 \sqrt{\frac{𝐽}{ℳ︀ 𝐵}}

Avec la vidéo, on peut estimer la période des oscillations à environ $𝑇 \approx 3 s$ , soit

ℳ︀ = 4 𝜋^{2} \frac{𝐽}{𝐵 𝑇^{2}} \approx 2

⋅10−1 A ⁠m2

🤔 La boussole