Électromagnétisme 4
Matériaux ferromagnétiques

Résumé du cours

1. Moment magnétique d’un aimant permanent

1.1. Dipôle magnétique

Une spire circulaire parcourue par un courant produit un champ magnétique caractérisé par son moment magnétique ℳ︀⃗.

Point clé 1 – Moment magnétique d’une spire ♥︎
ℳ︀⃗=𝑖𝑆⃗
avec ℳ︀ le moment magnétique (A ⁠m2) ; 𝑆⃗ la surface orientée (m2) ; 𝑖 le courant électrique (A) ; 𝐵 le champ magnétique (T) ; 𝜇0 la perméabilité magnétique du vide (H m−1) ; ℰ︀𝑝 l’énergie potentielle d’interaction (J) ; 𝐵⃗ext le champ magnétique extérieur (T) ; 𝐹⃗ la force (N) ; 𝛤⃗ le couple (N ⁠m) ; 𝜇𝐵 =ℎ𝑒2𝑚𝑒 le magnéton de Bohr (A ⁠m2) ; 𝑀 l’aimantation (A m−1) ; 𝐻 l’excitation magnétique (A m−1) ; 𝑗⃗lié le vecteur densité volumique de courant lié (A m−2) ; 𝑗⃗libre le vecteur densité volumique de courant libre (A m−2) ; 𝐼libre, enlacé le courant libre enlacé (A) ; 𝜇 =𝜇0𝜇𝑟 la perméabilité magnétique du matériau (H m−1) ; 𝑢 la tension aux bornes de l’enroulement (V) ; 𝑁 le nombre de spires (sans unité) ; 𝑙 la longueur du circuit magnétique (m) ; 𝐿 l’inductance propre (H) ; 𝑆 la section du circuit magnétique (m2) ; 𝑤 la densité volumique d’énergie magnétique (J m−3) ; 𝜇𝑟 la perméabilité relative du matériau (sans unité) ; 𝒫︀hystérésis la puissance dissipée par hystérésis (W) ; 𝑉 le volume du matériau (m3) ; 𝑓 la fréquence (Hz) ; 𝒜︀ l’aire du cycle d’hystérésis (T ⁠A m−1) ; 𝑒 l’épaisseur de l’entrefer (m) ; 𝐵entrefer le champ magnétique dans l’entrefer (T) ; 𝑛 un entier relatif (sans unité).

Si on fait tendre vers 0 le rayon d’une spire circulaire en gardant constant son moment magnétique, on obtient un dipôle magnétique.

Le dipôle magnétique est un système ponctuel. Le dipôle magnétique est le plus simple système ayant un moment magnétique.

Fig. 1. – Spire
Fig. 2. – Dipôle magnétique
Fig. 3. – Aimant

Les champs magnétiques créés par une spire, un dipôle magnétique et un aimant sont similaires lorsqu’on se place suffisamment loin du système.

Point clé 2 – Champ magnétique créé par un dipôle magnétique

Hypothèses :

  • Le moment magnétique est orienté selon 𝑒⃗𝑧.
  • Le système de coordonnées est sphérique.
𝐵⃗=𝜇04𝜋ℳ︀𝑟3(2cos𝜃sin𝜃0)
avec ℳ︀ le moment magnétique (A ⁠m2) ; 𝑆⃗ la surface orientée (m2) ; 𝑖 le courant électrique (A) ; 𝐵 le champ magnétique (T) ; 𝜇0 la perméabilité magnétique du vide (H m−1) ; ℰ︀𝑝 l’énergie potentielle d’interaction (J) ; 𝐵⃗ext le champ magnétique extérieur (T) ; 𝐹⃗ la force (N) ; 𝛤⃗ le couple (N ⁠m) ; 𝜇𝐵 =ℎ𝑒2𝑚𝑒 le magnéton de Bohr (A ⁠m2) ; 𝑀 l’aimantation (A m−1) ; 𝐻 l’excitation magnétique (A m−1) ; 𝑗⃗lié le vecteur densité volumique de courant lié (A m−2) ; 𝑗⃗libre le vecteur densité volumique de courant libre (A m−2) ; 𝐼libre, enlacé le courant libre enlacé (A) ; 𝜇 =𝜇0𝜇𝑟 la perméabilité magnétique du matériau (H m−1) ; 𝑢 la tension aux bornes de l’enroulement (V) ; 𝑁 le nombre de spires (sans unité) ; 𝑙 la longueur du circuit magnétique (m) ; 𝐿 l’inductance propre (H) ; 𝑆 la section du circuit magnétique (m2) ; 𝑤 la densité volumique d’énergie magnétique (J m−3) ; 𝜇𝑟 la perméabilité relative du matériau (sans unité) ; 𝒫︀hystérésis la puissance dissipée par hystérésis (W) ; 𝑉 le volume du matériau (m3) ; 𝑓 la fréquence (Hz) ; 𝒜︀ l’aire du cycle d’hystérésis (T ⁠A m−1) ; 𝑒 l’épaisseur de l’entrefer (m) ; 𝐵entrefer le champ magnétique dans l’entrefer (T) ; 𝑛 un entier relatif (sans unité).
Point clé 3 – Équation des lignes de champ magnétique créées par un dipôle magnétique

Hypothèses :

  • Le moment magnétique est orienté selon 𝑒⃗𝑧.
  • Le système de coordonnées est sphérique.
𝑟=𝐾sin2𝜃𝜑=𝐾′
avec ℳ︀ le moment magnétique (A ⁠m2) ; 𝑆⃗ la surface orientée (m2) ; 𝑖 le courant électrique (A) ; 𝐵 le champ magnétique (T) ; 𝜇0 la perméabilité magnétique du vide (H m−1) ; ℰ︀𝑝 l’énergie potentielle d’interaction (J) ; 𝐵⃗ext le champ magnétique extérieur (T) ; 𝐹⃗ la force (N) ; 𝛤⃗ le couple (N ⁠m) ; 𝜇𝐵 =ℎ𝑒2𝑚𝑒 le magnéton de Bohr (A ⁠m2) ; 𝑀 l’aimantation (A m−1) ; 𝐻 l’excitation magnétique (A m−1) ; 𝑗⃗lié le vecteur densité volumique de courant lié (A m−2) ; 𝑗⃗libre le vecteur densité volumique de courant libre (A m−2) ; 𝐼libre, enlacé le courant libre enlacé (A) ; 𝜇 =𝜇0𝜇𝑟 la perméabilité magnétique du matériau (H m−1) ; 𝑢 la tension aux bornes de l’enroulement (V) ; 𝑁 le nombre de spires (sans unité) ; 𝑙 la longueur du circuit magnétique (m) ; 𝐿 l’inductance propre (H) ; 𝑆 la section du circuit magnétique (m2) ; 𝑤 la densité volumique d’énergie magnétique (J m−3) ; 𝜇𝑟 la perméabilité relative du matériau (sans unité) ; 𝒫︀hystérésis la puissance dissipée par hystérésis (W) ; 𝑉 le volume du matériau (m3) ; 𝑓 la fréquence (Hz) ; 𝒜︀ l’aire du cycle d’hystérésis (T ⁠A m−1) ; 𝑒 l’épaisseur de l’entrefer (m) ; 𝐵entrefer le champ magnétique dans l’entrefer (T) ; 𝑛 un entier relatif (sans unité).
Application 1 ✍
Tracer l’allure des lignes de champ magnétique créées par un dipôle magnétique.
Application 2 ✍
À l’aide de Python, tracer l’allure des lignes de champ magnétique créées par un dipôle magnétique.

1.2. Champ créé par un aimant

Si on se place suffisamment loin, les champs créés par un aimant, par une spire et par un dipôle magnétique sont similaires. On définit le moment magnétique d’un aimant comme le moment magnétique du dipôle magnétique ayant le même champ magnétique à grande distance.

Application 3 ✍
Déterminer la norme du champ magnétique à la surface de la terre à Quimper (47°59′𝑁,4°05′𝑂). On donne ℳ︀Terre=7,7⋅1022 A ⁠m2 et 𝑅Terre=6400 km.

1.3. Action subie par un moment magnétique

Lorsqu’un système possédant un moment magnétique est placé dans un champ magnétique extérieur, il subit des actions de sa part.

Point clé 4 – Énergie potentielle d’interaction entre un système possédant un moment magnétique et un champ magnétique extérieur
ℰ︀𝑝=−ℳ︀⃗.𝐵⃗ext
avec ℳ︀ le moment magnétique (A ⁠m2) ; 𝑆⃗ la surface orientée (m2) ; 𝑖 le courant électrique (A) ; 𝐵 le champ magnétique (T) ; 𝜇0 la perméabilité magnétique du vide (H m−1) ; ℰ︀𝑝 l’énergie potentielle d’interaction (J) ; 𝐵⃗ext le champ magnétique extérieur (T) ; 𝐹⃗ la force (N) ; 𝛤⃗ le couple (N ⁠m) ; 𝜇𝐵 =ℎ𝑒2𝑚𝑒 le magnéton de Bohr (A ⁠m2) ; 𝑀 l’aimantation (A m−1) ; 𝐻 l’excitation magnétique (A m−1) ; 𝑗⃗lié le vecteur densité volumique de courant lié (A m−2) ; 𝑗⃗libre le vecteur densité volumique de courant libre (A m−2) ; 𝐼libre, enlacé le courant libre enlacé (A) ; 𝜇 =𝜇0𝜇𝑟 la perméabilité magnétique du matériau (H m−1) ; 𝑢 la tension aux bornes de l’enroulement (V) ; 𝑁 le nombre de spires (sans unité) ; 𝑙 la longueur du circuit magnétique (m) ; 𝐿 l’inductance propre (H) ; 𝑆 la section du circuit magnétique (m2) ; 𝑤 la densité volumique d’énergie magnétique (J m−3) ; 𝜇𝑟 la perméabilité relative du matériau (sans unité) ; 𝒫︀hystérésis la puissance dissipée par hystérésis (W) ; 𝑉 le volume du matériau (m3) ; 𝑓 la fréquence (Hz) ; 𝒜︀ l’aire du cycle d’hystérésis (T ⁠A m−1) ; 𝑒 l’épaisseur de l’entrefer (m) ; 𝐵entrefer le champ magnétique dans l’entrefer (T) ; 𝑛 un entier relatif (sans unité).

L’énergie potentielle est minimale lorsque le moment magnétique est aligné au champ. Un moment magnétique a tendance à s’aligner au champ magnétique.

Point clé 5 – Force subie par un système possédant un moment magnétique
𝐹⃗=−grad⃗ℰ︀𝑝
avec ℳ︀ le moment magnétique (A ⁠m2) ; 𝑆⃗ la surface orientée (m2) ; 𝑖 le courant électrique (A) ; 𝐵 le champ magnétique (T) ; 𝜇0 la perméabilité magnétique du vide (H m−1) ; ℰ︀𝑝 l’énergie potentielle d’interaction (J) ; 𝐵⃗ext le champ magnétique extérieur (T) ; 𝐹⃗ la force (N) ; 𝛤⃗ le couple (N ⁠m) ; 𝜇𝐵 =ℎ𝑒2𝑚𝑒 le magnéton de Bohr (A ⁠m2) ; 𝑀 l’aimantation (A m−1) ; 𝐻 l’excitation magnétique (A m−1) ; 𝑗⃗lié le vecteur densité volumique de courant lié (A m−2) ; 𝑗⃗libre le vecteur densité volumique de courant libre (A m−2) ; 𝐼libre, enlacé le courant libre enlacé (A) ; 𝜇 =𝜇0𝜇𝑟 la perméabilité magnétique du matériau (H m−1) ; 𝑢 la tension aux bornes de l’enroulement (V) ; 𝑁 le nombre de spires (sans unité) ; 𝑙 la longueur du circuit magnétique (m) ; 𝐿 l’inductance propre (H) ; 𝑆 la section du circuit magnétique (m2) ; 𝑤 la densité volumique d’énergie magnétique (J m−3) ; 𝜇𝑟 la perméabilité relative du matériau (sans unité) ; 𝒫︀hystérésis la puissance dissipée par hystérésis (W) ; 𝑉 le volume du matériau (m3) ; 𝑓 la fréquence (Hz) ; 𝒜︀ l’aire du cycle d’hystérésis (T ⁠A m−1) ; 𝑒 l’épaisseur de l’entrefer (m) ; 𝐵entrefer le champ magnétique dans l’entrefer (T) ; 𝑛 un entier relatif (sans unité).
Point clé 6 – Couple subi par un système possédant un moment magnétique
𝛤⃗=ℳ︀⃗∧𝐵⃗ext
avec ℳ︀ le moment magnétique (A ⁠m2) ; 𝑆⃗ la surface orientée (m2) ; 𝑖 le courant électrique (A) ; 𝐵 le champ magnétique (T) ; 𝜇0 la perméabilité magnétique du vide (H m−1) ; ℰ︀𝑝 l’énergie potentielle d’interaction (J) ; 𝐵⃗ext le champ magnétique extérieur (T) ; 𝐹⃗ la force (N) ; 𝛤⃗ le couple (N ⁠m) ; 𝜇𝐵 =ℎ𝑒2𝑚𝑒 le magnéton de Bohr (A ⁠m2) ; 𝑀 l’aimantation (A m−1) ; 𝐻 l’excitation magnétique (A m−1) ; 𝑗⃗lié le vecteur densité volumique de courant lié (A m−2) ; 𝑗⃗libre le vecteur densité volumique de courant libre (A m−2) ; 𝐼libre, enlacé le courant libre enlacé (A) ; 𝜇 =𝜇0𝜇𝑟 la perméabilité magnétique du matériau (H m−1) ; 𝑢 la tension aux bornes de l’enroulement (V) ; 𝑁 le nombre de spires (sans unité) ; 𝑙 la longueur du circuit magnétique (m) ; 𝐿 l’inductance propre (H) ; 𝑆 la section du circuit magnétique (m2) ; 𝑤 la densité volumique d’énergie magnétique (J m−3) ; 𝜇𝑟 la perméabilité relative du matériau (sans unité) ; 𝒫︀hystérésis la puissance dissipée par hystérésis (W) ; 𝑉 le volume du matériau (m3) ; 𝑓 la fréquence (Hz) ; 𝒜︀ l’aire du cycle d’hystérésis (T ⁠A m−1) ; 𝑒 l’épaisseur de l’entrefer (m) ; 𝐵entrefer le champ magnétique dans l’entrefer (T) ; 𝑛 un entier relatif (sans unité).

On retrouve un couple nul lorsque le moment magnétique est aligné avec le champ magnétique.

Application 4 ✍
Déterminer la période d’oscillation d’une aiguille de boussole (ℳ︀⃗=15 A ⁠m2𝑒⃗𝑟, 𝐽=1⋅10−4 kg ⁠m2 selon 𝑒⃗𝑟) dans le champ magnétique terrestre. La liaison pivot entre l’aiguille et son support est supposée idéale.
Point clé 7 – Quantification du moment magnétique atomique ♥︎✍

Hypothèses :

  • L’électron décrit une trajectoire circulaire autour d’un noyau.
  • L’électron a un moment cinétique quantifié 𝐿=𝑛ℎ avec 𝑛∈ℕ∗.
ℳ︀=𝑛𝜇𝐵
avec ℳ︀ le moment magnétique (A ⁠m2) ; 𝑆⃗ la surface orientée (m2) ; 𝑖 le courant électrique (A) ; 𝐵 le champ magnétique (T) ; 𝜇0 la perméabilité magnétique du vide (H m−1) ; ℰ︀𝑝 l’énergie potentielle d’interaction (J) ; 𝐵⃗ext le champ magnétique extérieur (T) ; 𝐹⃗ la force (N) ; 𝛤⃗ le couple (N ⁠m) ; 𝜇𝐵 =ℎ𝑒2𝑚𝑒 le magnéton de Bohr (A ⁠m2) ; 𝑀 l’aimantation (A m−1) ; 𝐻 l’excitation magnétique (A m−1) ; 𝑗⃗lié le vecteur densité volumique de courant lié (A m−2) ; 𝑗⃗libre le vecteur densité volumique de courant libre (A m−2) ; 𝐼libre, enlacé le courant libre enlacé (A) ; 𝜇 =𝜇0𝜇𝑟 la perméabilité magnétique du matériau (H m−1) ; 𝑢 la tension aux bornes de l’enroulement (V) ; 𝑁 le nombre de spires (sans unité) ; 𝑙 la longueur du circuit magnétique (m) ; 𝐿 l’inductance propre (H) ; 𝑆 la section du circuit magnétique (m2) ; 𝑤 la densité volumique d’énergie magnétique (J m−3) ; 𝜇𝑟 la perméabilité relative du matériau (sans unité) ; 𝒫︀hystérésis la puissance dissipée par hystérésis (W) ; 𝑉 le volume du matériau (m3) ; 𝑓 la fréquence (Hz) ; 𝒜︀ l’aire du cycle d’hystérésis (T ⁠A m−1) ; 𝑒 l’épaisseur de l’entrefer (m) ; 𝐵entrefer le champ magnétique dans l’entrefer (T) ; 𝑛 un entier relatif (sans unité).

2. Équations de Maxwell dans un milieu magnétique

2.1. Aimantation

Les particules qui constituent la matière peuvent porter un moment magnétique (moment magnétique orbital des électrons, spin des électrons et des noyaux).

L’aimantation est le moment magnétique par unité de volume.

Point clé 8 – Définition de l’aimantation ♥︎
𝑀⃗=𝛿ℳ︀⃗𝛿𝑉
avec ℳ︀ le moment magnétique (A ⁠m2) ; 𝑆⃗ la surface orientée (m2) ; 𝑖 le courant électrique (A) ; 𝐵 le champ magnétique (T) ; 𝜇0 la perméabilité magnétique du vide (H m−1) ; ℰ︀𝑝 l’énergie potentielle d’interaction (J) ; 𝐵⃗ext le champ magnétique extérieur (T) ; 𝐹⃗ la force (N) ; 𝛤⃗ le couple (N ⁠m) ; 𝜇𝐵 =ℎ𝑒2𝑚𝑒 le magnéton de Bohr (A ⁠m2) ; 𝑀 l’aimantation (A m−1) ; 𝐻 l’excitation magnétique (A m−1) ; 𝑗⃗lié le vecteur densité volumique de courant lié (A m−2) ; 𝑗⃗libre le vecteur densité volumique de courant libre (A m−2) ; 𝐼libre, enlacé le courant libre enlacé (A) ; 𝜇 =𝜇0𝜇𝑟 la perméabilité magnétique du matériau (H m−1) ; 𝑢 la tension aux bornes de l’enroulement (V) ; 𝑁 le nombre de spires (sans unité) ; 𝑙 la longueur du circuit magnétique (m) ; 𝐿 l’inductance propre (H) ; 𝑆 la section du circuit magnétique (m2) ; 𝑤 la densité volumique d’énergie magnétique (J m−3) ; 𝜇𝑟 la perméabilité relative du matériau (sans unité) ; 𝒫︀hystérésis la puissance dissipée par hystérésis (W) ; 𝑉 le volume du matériau (m3) ; 𝑓 la fréquence (Hz) ; 𝒜︀ l’aire du cycle d’hystérésis (T ⁠A m−1) ; 𝑒 l’épaisseur de l’entrefer (m) ; 𝐵entrefer le champ magnétique dans l’entrefer (T) ; 𝑛 un entier relatif (sans unité).

Il est possible de définir des courants fictifs 𝑗⃗lié qui, s’ils existaient, donneraient lieu à la même aimantation 𝑀⃗

Point clé 9 – Courants liés ♥︎
𝑗⃗lié=rot⃗𝑀⃗
avec ℳ︀ le moment magnétique (A ⁠m2) ; 𝑆⃗ la surface orientée (m2) ; 𝑖 le courant électrique (A) ; 𝐵 le champ magnétique (T) ; 𝜇0 la perméabilité magnétique du vide (H m−1) ; ℰ︀𝑝 l’énergie potentielle d’interaction (J) ; 𝐵⃗ext le champ magnétique extérieur (T) ; 𝐹⃗ la force (N) ; 𝛤⃗ le couple (N ⁠m) ; 𝜇𝐵 =ℎ𝑒2𝑚𝑒 le magnéton de Bohr (A ⁠m2) ; 𝑀 l’aimantation (A m−1) ; 𝐻 l’excitation magnétique (A m−1) ; 𝑗⃗lié le vecteur densité volumique de courant lié (A m−2) ; 𝑗⃗libre le vecteur densité volumique de courant libre (A m−2) ; 𝐼libre, enlacé le courant libre enlacé (A) ; 𝜇 =𝜇0𝜇𝑟 la perméabilité magnétique du matériau (H m−1) ; 𝑢 la tension aux bornes de l’enroulement (V) ; 𝑁 le nombre de spires (sans unité) ; 𝑙 la longueur du circuit magnétique (m) ; 𝐿 l’inductance propre (H) ; 𝑆 la section du circuit magnétique (m2) ; 𝑤 la densité volumique d’énergie magnétique (J m−3) ; 𝜇𝑟 la perméabilité relative du matériau (sans unité) ; 𝒫︀hystérésis la puissance dissipée par hystérésis (W) ; 𝑉 le volume du matériau (m3) ; 𝑓 la fréquence (Hz) ; 𝒜︀ l’aire du cycle d’hystérésis (T ⁠A m−1) ; 𝑒 l’épaisseur de l’entrefer (m) ; 𝐵entrefer le champ magnétique dans l’entrefer (T) ; 𝑛 un entier relatif (sans unité).

2.2. Vecteur excitation magnétique

Les effets de l’aimantation sont pris en compte dans les équations de Maxwell à travers les courants liés.

Point clé 10 – Équation de Maxwell-Ampère dans un milieu magnétique ♥︎✍
rot⃗𝐻⃗=𝑗⃗libre
avec ℳ︀ le moment magnétique (A ⁠m2) ; 𝑆⃗ la surface orientée (m2) ; 𝑖 le courant électrique (A) ; 𝐵 le champ magnétique (T) ; 𝜇0 la perméabilité magnétique du vide (H m−1) ; ℰ︀𝑝 l’énergie potentielle d’interaction (J) ; 𝐵⃗ext le champ magnétique extérieur (T) ; 𝐹⃗ la force (N) ; 𝛤⃗ le couple (N ⁠m) ; 𝜇𝐵 =ℎ𝑒2𝑚𝑒 le magnéton de Bohr (A ⁠m2) ; 𝑀 l’aimantation (A m−1) ; 𝐻 l’excitation magnétique (A m−1) ; 𝑗⃗lié le vecteur densité volumique de courant lié (A m−2) ; 𝑗⃗libre le vecteur densité volumique de courant libre (A m−2) ; 𝐼libre, enlacé le courant libre enlacé (A) ; 𝜇 =𝜇0𝜇𝑟 la perméabilité magnétique du matériau (H m−1) ; 𝑢 la tension aux bornes de l’enroulement (V) ; 𝑁 le nombre de spires (sans unité) ; 𝑙 la longueur du circuit magnétique (m) ; 𝐿 l’inductance propre (H) ; 𝑆 la section du circuit magnétique (m2) ; 𝑤 la densité volumique d’énergie magnétique (J m−3) ; 𝜇𝑟 la perméabilité relative du matériau (sans unité) ; 𝒫︀hystérésis la puissance dissipée par hystérésis (W) ; 𝑉 le volume du matériau (m3) ; 𝑓 la fréquence (Hz) ; 𝒜︀ l’aire du cycle d’hystérésis (T ⁠A m−1) ; 𝑒 l’épaisseur de l’entrefer (m) ; 𝐵entrefer le champ magnétique dans l’entrefer (T) ; 𝑛 un entier relatif (sans unité).

Les sources de l’excitation magnétique sont donc les courants électriques libres.

Les sources du champ magnétique sont les courants électriques libres et l’aimantation.

2.3. Équations de Maxwell intégrées

Dans les milieux magnétiques, l’équation de Maxwell-Faraday est inchangée donc la loi de Lenz-Faraday 𝑒=−dΦd𝑡 s’applique toujours.

Dans les milieux magnétiques, l’équation de Maxwell-Thomson est inchangée donc le champ magnétique 𝐵⃗ est toujours à flux conservatif.

Point clé 11 – Théorème d’Ampère dans un milieu magnétique ♥︎✍

Hypothèse : Dans l’ARQS magnétique.

∮𝒞︀𝐻⃗⋅d𝑙⃗=𝐼libre, enlacé
avec ℳ︀ le moment magnétique (A ⁠m2) ; 𝑆⃗ la surface orientée (m2) ; 𝑖 le courant électrique (A) ; 𝐵 le champ magnétique (T) ; 𝜇0 la perméabilité magnétique du vide (H m−1) ; ℰ︀𝑝 l’énergie potentielle d’interaction (J) ; 𝐵⃗ext le champ magnétique extérieur (T) ; 𝐹⃗ la force (N) ; 𝛤⃗ le couple (N ⁠m) ; 𝜇𝐵 =ℎ𝑒2𝑚𝑒 le magnéton de Bohr (A ⁠m2) ; 𝑀 l’aimantation (A m−1) ; 𝐻 l’excitation magnétique (A m−1) ; 𝑗⃗lié le vecteur densité volumique de courant lié (A m−2) ; 𝑗⃗libre le vecteur densité volumique de courant libre (A m−2) ; 𝐼libre, enlacé le courant libre enlacé (A) ; 𝜇 =𝜇0𝜇𝑟 la perméabilité magnétique du matériau (H m−1) ; 𝑢 la tension aux bornes de l’enroulement (V) ; 𝑁 le nombre de spires (sans unité) ; 𝑙 la longueur du circuit magnétique (m) ; 𝐿 l’inductance propre (H) ; 𝑆 la section du circuit magnétique (m2) ; 𝑤 la densité volumique d’énergie magnétique (J m−3) ; 𝜇𝑟 la perméabilité relative du matériau (sans unité) ; 𝒫︀hystérésis la puissance dissipée par hystérésis (W) ; 𝑉 le volume du matériau (m3) ; 𝑓 la fréquence (Hz) ; 𝒜︀ l’aire du cycle d’hystérésis (T ⁠A m−1) ; 𝑒 l’épaisseur de l’entrefer (m) ; 𝐵entrefer le champ magnétique dans l’entrefer (T) ; 𝑛 un entier relatif (sans unité).

3. Milieux ferromagnétiques

3.1. Présentation

Un matériau ferromagnétique est un matériau dans lequel les dipôles magnétiques (de spin, orbital, …) ont tendance à s’aligner sur le champ magnétique extérieur. Dans un milieu ferromagnétique, l’aimantation 𝑀⃗ et le champ magnétique 𝐵⃗ croissent avec l’excitation magnétique 𝐻⃗.

Un matériau ferromagnétique canalise les lignes de champ magnétique. Lorsque des lignes de champ sortent d’un matériau ferromagnétique, elles sortent perpendiculairement à l’interface.

Fig. 4. – Lignes de champ magnétique dans un circuit magnétique sans entrefer.
Fig. 5. – Lignes de champ magnétique dans un circuit magnétique avec deux entrefers.

3.2. Présentation empirique : le cycle d’hystérésis

Pour un matériau ferromagnétique, le champ magnétique 𝐵⃗ et l’aimantation 𝑀⃗ dépendent de l’excitation magnétique. Cette dépendance comporte une hystérésis.

Schéma 1 – Cycle d’hystérésis

L’aimantation peut saturer, ce qui correspond à un état où tous les dipôles magnétiques sont orientés dans le même sens que l’excitation magnétique 𝐻⃗.

L’aimantation rémanente et le champ magnétique rémanent sont l’aimantation et le champ magnétique subsistant lorsque l’excitation magnétique est nulle.

L’excitation coercitive est l’excitation qu’il faut appliquer pour que le champ magnétique et l’aimantation soient nuls1.

Un matériau ferromagnétique dur est un matériau ferromagnétique dont le cycle d’hystérésis est large.

Schéma 2 – Cycle d’hystérésis d’un matériau ferromagnétique dur

Un matériau dur a une grande aimantation rémanente et un grand champ magnétique rémanent.

Les matériaux ferromagnétiques durs sont utilisés pour fabriquer des aimants permanents.

Exemple 1
Les alliages à base de néodyme (NdFeB) et les alnicos sont des matériaux ferromagnétiques durs.

3.3. Matériaux ferromagnétiques doux

Un matériau ferromagnétique doux est un matériau ferromagnétique dont le cycle d’hystérésis est fin et linéaire dans une certaine zone.

Les matériaux ferromagnétiques doux sont utilisés pour fabriquer les transformateurs et les machines électriques.

Exemple 2
Le fer doux et la ferrite sont des matériaux ferromagnétiques doux.
Schéma 3 – Cycle d’hystérésis d’un matériau ferromagnétique doux
Point clé 12 – Perméabilité magnétique ♥︎

Hypothèses :

  • Pour un matériau ferromagnétique doux.
  • Dans la zone de linéarité d’un matériau ferromagnétique doux.
𝐵⃗=𝜇𝐻⃗
avec ℳ︀ le moment magnétique (A ⁠m2) ; 𝑆⃗ la surface orientée (m2) ; 𝑖 le courant électrique (A) ; 𝐵 le champ magnétique (T) ; 𝜇0 la perméabilité magnétique du vide (H m−1) ; ℰ︀𝑝 l’énergie potentielle d’interaction (J) ; 𝐵⃗ext le champ magnétique extérieur (T) ; 𝐹⃗ la force (N) ; 𝛤⃗ le couple (N ⁠m) ; 𝜇𝐵 =ℎ𝑒2𝑚𝑒 le magnéton de Bohr (A ⁠m2) ; 𝑀 l’aimantation (A m−1) ; 𝐻 l’excitation magnétique (A m−1) ; 𝑗⃗lié le vecteur densité volumique de courant lié (A m−2) ; 𝑗⃗libre le vecteur densité volumique de courant libre (A m−2) ; 𝐼libre, enlacé le courant libre enlacé (A) ; 𝜇 =𝜇0𝜇𝑟 la perméabilité magnétique du matériau (H m−1) ; 𝑢 la tension aux bornes de l’enroulement (V) ; 𝑁 le nombre de spires (sans unité) ; 𝑙 la longueur du circuit magnétique (m) ; 𝐿 l’inductance propre (H) ; 𝑆 la section du circuit magnétique (m2) ; 𝑤 la densité volumique d’énergie magnétique (J m−3) ; 𝜇𝑟 la perméabilité relative du matériau (sans unité) ; 𝒫︀hystérésis la puissance dissipée par hystérésis (W) ; 𝑉 le volume du matériau (m3) ; 𝑓 la fréquence (Hz) ; 𝒜︀ l’aire du cycle d’hystérésis (T ⁠A m−1) ; 𝑒 l’épaisseur de l’entrefer (m) ; 𝐵entrefer le champ magnétique dans l’entrefer (T) ; 𝑛 un entier relatif (sans unité).

La perméabilité magnétique relative est de l’ordre de 𝜇𝑟∼105.

4. Circuits ferromagnétiques

4.1. Circuit magnétique sans entrefer

4.1.1. Présentation générale

Un circuit magnétique sans entrefer est constitué d’un matériau ferromagnétique formant une boucle autour duquel est enroulé un fil parcouru par un courant électrique.

Schéma 4 – Circuit magnétique sans entrefer

Le matériau guide les lignes de champ, elles ont donc une forme similaire à celle du circuit magnétique. Pour étudier le système, on s’intéresse à une ligne de champ moyenne.

4.1.2. Relations entre grandeurs électriques et électromagnétiques
Point clé 13 – Relation champ magnétique - tension ✍

Hypothèses :

  • Dans l’ARQS magnétique.
  • Le circuit magnétique a une section constante 𝑆.
  • Le circuit magnétique ne comporte pas d’entrefer.
  • Le champ magnétique est uniforme dans le matériau ferromagnétique.
𝑢=𝑁𝑆d𝐵d𝑡
avec ℳ︀ le moment magnétique (A ⁠m2) ; 𝑆⃗ la surface orientée (m2) ; 𝑖 le courant électrique (A) ; 𝐵 le champ magnétique (T) ; 𝜇0 la perméabilité magnétique du vide (H m−1) ; ℰ︀𝑝 l’énergie potentielle d’interaction (J) ; 𝐵⃗ext le champ magnétique extérieur (T) ; 𝐹⃗ la force (N) ; 𝛤⃗ le couple (N ⁠m) ; 𝜇𝐵 =ℎ𝑒2𝑚𝑒 le magnéton de Bohr (A ⁠m2) ; 𝑀 l’aimantation (A m−1) ; 𝐻 l’excitation magnétique (A m−1) ; 𝑗⃗lié le vecteur densité volumique de courant lié (A m−2) ; 𝑗⃗libre le vecteur densité volumique de courant libre (A m−2) ; 𝐼libre, enlacé le courant libre enlacé (A) ; 𝜇 =𝜇0𝜇𝑟 la perméabilité magnétique du matériau (H m−1) ; 𝑢 la tension aux bornes de l’enroulement (V) ; 𝑁 le nombre de spires (sans unité) ; 𝑙 la longueur du circuit magnétique (m) ; 𝐿 l’inductance propre (H) ; 𝑆 la section du circuit magnétique (m2) ; 𝑤 la densité volumique d’énergie magnétique (J m−3) ; 𝜇𝑟 la perméabilité relative du matériau (sans unité) ; 𝒫︀hystérésis la puissance dissipée par hystérésis (W) ; 𝑉 le volume du matériau (m3) ; 𝑓 la fréquence (Hz) ; 𝒜︀ l’aire du cycle d’hystérésis (T ⁠A m−1) ; 𝑒 l’épaisseur de l’entrefer (m) ; 𝐵entrefer le champ magnétique dans l’entrefer (T) ; 𝑛 un entier relatif (sans unité).

Cette relation est mise à profit pour mesurer le champ magnétique et tracer le cycle d’hystérésis : intégrer la tension donne le champ magnétique.

Point clé 14 – Relation excitation magnétique - courant ✍

Hypothèses :

  • Dans l’ARQS magnétique.
  • Le circuit magnétique a une section constante 𝑆.
  • Le circuit magnétique ne comporte pas d’entrefer.
  • L’excitation magnétique est uniforme dans le matériau ferromagnétique.
𝐻𝑙=𝑁𝑖
avec ℳ︀ le moment magnétique (A ⁠m2) ; 𝑆⃗ la surface orientée (m2) ; 𝑖 le courant électrique (A) ; 𝐵 le champ magnétique (T) ; 𝜇0 la perméabilité magnétique du vide (H m−1) ; ℰ︀𝑝 l’énergie potentielle d’interaction (J) ; 𝐵⃗ext le champ magnétique extérieur (T) ; 𝐹⃗ la force (N) ; 𝛤⃗ le couple (N ⁠m) ; 𝜇𝐵 =ℎ𝑒2𝑚𝑒 le magnéton de Bohr (A ⁠m2) ; 𝑀 l’aimantation (A m−1) ; 𝐻 l’excitation magnétique (A m−1) ; 𝑗⃗lié le vecteur densité volumique de courant lié (A m−2) ; 𝑗⃗libre le vecteur densité volumique de courant libre (A m−2) ; 𝐼libre, enlacé le courant libre enlacé (A) ; 𝜇 =𝜇0𝜇𝑟 la perméabilité magnétique du matériau (H m−1) ; 𝑢 la tension aux bornes de l’enroulement (V) ; 𝑁 le nombre de spires (sans unité) ; 𝑙 la longueur du circuit magnétique (m) ; 𝐿 l’inductance propre (H) ; 𝑆 la section du circuit magnétique (m2) ; 𝑤 la densité volumique d’énergie magnétique (J m−3) ; 𝜇𝑟 la perméabilité relative du matériau (sans unité) ; 𝒫︀hystérésis la puissance dissipée par hystérésis (W) ; 𝑉 le volume du matériau (m3) ; 𝑓 la fréquence (Hz) ; 𝒜︀ l’aire du cycle d’hystérésis (T ⁠A m−1) ; 𝑒 l’épaisseur de l’entrefer (m) ; 𝐵entrefer le champ magnétique dans l’entrefer (T) ; 𝑛 un entier relatif (sans unité).

Cette relation est mise à profit pour mesurer l’excitation magnétique et tracer le cycle d’hystérésis.

4.2. Bobine à noyau ferromagnétique

Le circuit magnétique sans entrefer peut être utilisé pour réaliser une bobine. Pour cela, on utilise un matériau ferromagnétique doux hors saturation.

4.2.1. Inductance propre
Point clé 15 – Inductance propre d’une bobine avec noyau ferromagnétique ✍

Hypothèses :

  • Dans l’ARQS magnétique.
  • L’excitation magnétique et le champ magnétique sont uniformes dans le matériau ferromagnétique.
  • Le matériau ferromagnétique est doux et hors saturation.
  • Le circuit magnétique ne comporte pas d’entrefer.
  • Le circuit magnétique a une section constante.
𝐿=𝑁2𝑆𝜇𝑙
avec ℳ︀ le moment magnétique (A ⁠m2) ; 𝑆⃗ la surface orientée (m2) ; 𝑖 le courant électrique (A) ; 𝐵 le champ magnétique (T) ; 𝜇0 la perméabilité magnétique du vide (H m−1) ; ℰ︀𝑝 l’énergie potentielle d’interaction (J) ; 𝐵⃗ext le champ magnétique extérieur (T) ; 𝐹⃗ la force (N) ; 𝛤⃗ le couple (N ⁠m) ; 𝜇𝐵 =ℎ𝑒2𝑚𝑒 le magnéton de Bohr (A ⁠m2) ; 𝑀 l’aimantation (A m−1) ; 𝐻 l’excitation magnétique (A m−1) ; 𝑗⃗lié le vecteur densité volumique de courant lié (A m−2) ; 𝑗⃗libre le vecteur densité volumique de courant libre (A m−2) ; 𝐼libre, enlacé le courant libre enlacé (A) ; 𝜇 =𝜇0𝜇𝑟 la perméabilité magnétique du matériau (H m−1) ; 𝑢 la tension aux bornes de l’enroulement (V) ; 𝑁 le nombre de spires (sans unité) ; 𝑙 la longueur du circuit magnétique (m) ; 𝐿 l’inductance propre (H) ; 𝑆 la section du circuit magnétique (m2) ; 𝑤 la densité volumique d’énergie magnétique (J m−3) ; 𝜇𝑟 la perméabilité relative du matériau (sans unité) ; 𝒫︀hystérésis la puissance dissipée par hystérésis (W) ; 𝑉 le volume du matériau (m3) ; 𝑓 la fréquence (Hz) ; 𝒜︀ l’aire du cycle d’hystérésis (T ⁠A m−1) ; 𝑒 l’épaisseur de l’entrefer (m) ; 𝐵entrefer le champ magnétique dans l’entrefer (T) ; 𝑛 un entier relatif (sans unité).

Cette inductance propre est 𝜇𝑟≫1 fois plus grande que celle d’un tore sans cœur ferromagnétique de dimensions équivalentes.

4.2.2. Aspect énergétique
Point clé 16 – Densité volumique d’énergie magnétique dans un matériau ferromagnétique doux ♥︎✍

Hypothèses :

  • Dans l’ARQS magnétique.
  • Le matériau ferromagnétique est doux et hors saturation.
  • La formule établie pour un circuit magnétique sans entrefer peut être généralisée.
𝑤=12𝜇0𝜇𝑟𝐵2
avec ℳ︀ le moment magnétique (A ⁠m2) ; 𝑆⃗ la surface orientée (m2) ; 𝑖 le courant électrique (A) ; 𝐵 le champ magnétique (T) ; 𝜇0 la perméabilité magnétique du vide (H m−1) ; ℰ︀𝑝 l’énergie potentielle d’interaction (J) ; 𝐵⃗ext le champ magnétique extérieur (T) ; 𝐹⃗ la force (N) ; 𝛤⃗ le couple (N ⁠m) ; 𝜇𝐵 =ℎ𝑒2𝑚𝑒 le magnéton de Bohr (A ⁠m2) ; 𝑀 l’aimantation (A m−1) ; 𝐻 l’excitation magnétique (A m−1) ; 𝑗⃗lié le vecteur densité volumique de courant lié (A m−2) ; 𝑗⃗libre le vecteur densité volumique de courant libre (A m−2) ; 𝐼libre, enlacé le courant libre enlacé (A) ; 𝜇 =𝜇0𝜇𝑟 la perméabilité magnétique du matériau (H m−1) ; 𝑢 la tension aux bornes de l’enroulement (V) ; 𝑁 le nombre de spires (sans unité) ; 𝑙 la longueur du circuit magnétique (m) ; 𝐿 l’inductance propre (H) ; 𝑆 la section du circuit magnétique (m2) ; 𝑤 la densité volumique d’énergie magnétique (J m−3) ; 𝜇𝑟 la perméabilité relative du matériau (sans unité) ; 𝒫︀hystérésis la puissance dissipée par hystérésis (W) ; 𝑉 le volume du matériau (m3) ; 𝑓 la fréquence (Hz) ; 𝒜︀ l’aire du cycle d’hystérésis (T ⁠A m−1) ; 𝑒 l’épaisseur de l’entrefer (m) ; 𝐵entrefer le champ magnétique dans l’entrefer (T) ; 𝑛 un entier relatif (sans unité).
4.2.3. Pertes

La présence d’un milieu ferromagnétique au cœur de la bobine induit des pertes.

Point clé 17 – Pertes par hystérésis ✍

Hypothèses :

  • Dans l’ARQS magnétique.
  • L’excitation magnétique et le champ magnétique sont uniformes dans le matériau ferromagnétique.
  • Le circuit magnétique a une section constante.
  • Le circuit magnétique ne comporte pas d’entrefer.
⟨𝒫︀hystérésis⟩=𝑉𝑓𝒜︀
avec ℳ︀ le moment magnétique (A ⁠m2) ; 𝑆⃗ la surface orientée (m2) ; 𝑖 le courant électrique (A) ; 𝐵 le champ magnétique (T) ; 𝜇0 la perméabilité magnétique du vide (H m−1) ; ℰ︀𝑝 l’énergie potentielle d’interaction (J) ; 𝐵⃗ext le champ magnétique extérieur (T) ; 𝐹⃗ la force (N) ; 𝛤⃗ le couple (N ⁠m) ; 𝜇𝐵 =ℎ𝑒2𝑚𝑒 le magnéton de Bohr (A ⁠m2) ; 𝑀 l’aimantation (A m−1) ; 𝐻 l’excitation magnétique (A m−1) ; 𝑗⃗lié le vecteur densité volumique de courant lié (A m−2) ; 𝑗⃗libre le vecteur densité volumique de courant libre (A m−2) ; 𝐼libre, enlacé le courant libre enlacé (A) ; 𝜇 =𝜇0𝜇𝑟 la perméabilité magnétique du matériau (H m−1) ; 𝑢 la tension aux bornes de l’enroulement (V) ; 𝑁 le nombre de spires (sans unité) ; 𝑙 la longueur du circuit magnétique (m) ; 𝐿 l’inductance propre (H) ; 𝑆 la section du circuit magnétique (m2) ; 𝑤 la densité volumique d’énergie magnétique (J m−3) ; 𝜇𝑟 la perméabilité relative du matériau (sans unité) ; 𝒫︀hystérésis la puissance dissipée par hystérésis (W) ; 𝑉 le volume du matériau (m3) ; 𝑓 la fréquence (Hz) ; 𝒜︀ l’aire du cycle d’hystérésis (T ⁠A m−1) ; 𝑒 l’épaisseur de l’entrefer (m) ; 𝐵entrefer le champ magnétique dans l’entrefer (T) ; 𝑛 un entier relatif (sans unité).

Pour limiter les pertes par hystérésis, on utilise des matériaux ferromagnétiques doux.

Le circuit magnétique étant un conducteur électrique placé dans un champ magnétique variable, des courants de Foucault y sont induits. Pour limiter les pertes par courant de Foucault, on utilise le feuilletage.

Pertes par courant de Foucault et pertes par hystérésis sont appelées les pertes fer car elles se produisent dans le matériau ferromagnétique.

Des pertes par effet Joule se produisent également dans le bobinage, souvent réalisé en cuivre. Les pertes par effet Joule sont appelées pertes cuivre.

4.3. Circuit magnétique avec entrefer

Un entrefer est une zone de l’espace vide2 au sein du circuit magnétique. Un circuit magnétique avec entrefer est appelé un électroaimant car il permet de réaliser un champ magnétique dans une zone de l’espace grâce à un courant électrique.

Schéma 5 – Circuit magnétique avec entrefer
Point clé 18 – Champ magnétique dans l’entrefer d’un électroaimant ✍

Hypothèses :

  • Dans l’ARQS magnétique.
  • L’excitation magnétique et le champ magnétique sont uniformes dans le matériau ferromagnétique.
  • Le circuit magnétique a une section constante.
  • Les effets de bord sont négligés dans l’entrefer3.
  • Le matériau ferromagnétique est doux et hors saturation.
𝐵entrefer=𝜇0𝑁𝑖𝑒
avec ℳ︀ le moment magnétique (A ⁠m2) ; 𝑆⃗ la surface orientée (m2) ; 𝑖 le courant électrique (A) ; 𝐵 le champ magnétique (T) ; 𝜇0 la perméabilité magnétique du vide (H m−1) ; ℰ︀𝑝 l’énergie potentielle d’interaction (J) ; 𝐵⃗ext le champ magnétique extérieur (T) ; 𝐹⃗ la force (N) ; 𝛤⃗ le couple (N ⁠m) ; 𝜇𝐵 =ℎ𝑒2𝑚𝑒 le magnéton de Bohr (A ⁠m2) ; 𝑀 l’aimantation (A m−1) ; 𝐻 l’excitation magnétique (A m−1) ; 𝑗⃗lié le vecteur densité volumique de courant lié (A m−2) ; 𝑗⃗libre le vecteur densité volumique de courant libre (A m−2) ; 𝐼libre, enlacé le courant libre enlacé (A) ; 𝜇 =𝜇0𝜇𝑟 la perméabilité magnétique du matériau (H m−1) ; 𝑢 la tension aux bornes de l’enroulement (V) ; 𝑁 le nombre de spires (sans unité) ; 𝑙 la longueur du circuit magnétique (m) ; 𝐿 l’inductance propre (H) ; 𝑆 la section du circuit magnétique (m2) ; 𝑤 la densité volumique d’énergie magnétique (J m−3) ; 𝜇𝑟 la perméabilité relative du matériau (sans unité) ; 𝒫︀hystérésis la puissance dissipée par hystérésis (W) ; 𝑉 le volume du matériau (m3) ; 𝑓 la fréquence (Hz) ; 𝒜︀ l’aire du cycle d’hystérésis (T ⁠A m−1) ; 𝑒 l’épaisseur de l’entrefer (m) ; 𝐵entrefer le champ magnétique dans l’entrefer (T) ; 𝑛 un entier relatif (sans unité).
  1. 1En toute rigueur, l’excitation magnétique qu’il faut pour avoir 𝐵=0 n’est pas exactement celle qu’il faut appliquer pour avoir 𝑀=0, mais elles sont très proches.
  2. 2Vide de matériau ferromagnétique.
  3. 3Autrement dit, l’épaisseur de l’entrefer est très petite devant toutes les autres dimensions.