Tore — Électromagnétisme 3 : Électromagnétisme dans l'ARQS

On considère un tore de rayon interne

𝑅

, de section carrée de côté

𝑎

, sur lequel on enroule un fil en formant

𝑁

spires carrées jointives.

L’espace est repéré par le système de coordonnées cylindriques

(𝑂, {\vec{𝑒}}_{𝑟}, {\vec{𝑒}}_{𝜃}, {\vec{𝑒}}_{𝑧})

, l’origine étant prise sur l’axe du tore. Chaque spire carrée appartient à un plan passant par l’axe.

Le circuit ainsi constitué est parcouru par un courant d’intensité

𝑖 (𝑡)

, orienté selon le sens indiqué sur la figure.

1/ Calculer le champ magnétique créé par le courant d’intensité

𝑖 (𝑡)

dans tout l’espace.

Coup de pouce 1

Effectuer les 4 étapes : analyse des invariances, des symétries, choix de la courbe d’Ampère et théorème d’Ampère.

Corrigé

Démo faite dans le cours.

\vec{𝐵} = {\begin{cases} \frac{𝜇_{0} 𝑁 𝑖}{2 𝜋 𝑟} {\vec{𝑒}}_{𝜃} à l'intérieur \\ \vec{0} à l'extérieur \end{cases}

2/ En déduire l’expression de l’inductance propre

𝐿

. Calculer numériquement

𝐿

pour

𝑁 = 100

𝑁 = 1000

. On donne

𝑎 = 1 cm

𝑅 = 5 cm

Coup de pouce 1

Quelle relation relie le flux propre et l’inductance propre ?

Corrigé

Φ_{1 spire} = \iint_{𝑆} \vec{𝐵} . \vec{d 𝑆} = \int_{𝑟 = 𝑅}^{𝑅 + 𝑎} d 𝑟 \int_{𝑧 = 0}^{𝑎} d 𝑧 𝐵 = \frac{𝜇_{0} 𝑁 𝑖 𝑎}{2 𝜋} ln (\frac{𝑅 + 𝑎}{𝑅})

Φ_{tot} = 𝑁 Φ_{1 spire} = \frac{𝜇_{0} 𝑁^{2} 𝑖 𝑎}{2 𝜋} ln (\frac{𝑅 + 𝑎}{𝑅})

or $Φ_{tot} = 𝐿 𝑖$ d’où

𝐿 = \frac{𝜇_{0} 𝑁^{2} 𝑎}{2 𝜋} ln (\frac{𝑅 + 𝑎}{𝑅})

Pour $𝑁 = 100$ , $𝐿 = 4$ ⋅10−6 H, pour $𝑁 = 1000$ , $𝐿 = 4$ ⋅10−4 H

Inductance propre d’un tore