🤔 Entrée dans un IRM

Cet exercice est un problème ouvert. Il nécessite de prendre des initiatives et de faire des choix dans la modélisation. Des approximations et des estimations sont souvent nécessaires pour arriver à une solution.

Le champ magnétique dans un IRM est stationnaire et de l’ordre de 1⁠ ⁠T. La conductivité électrique du corps humain est de l’ordre de 0,2⁠ ⁠S m−1.

Lors de l’entrée dans la machine, le patient se déplace à une vitesse d’environ 0,2⁠ ⁠m s−1.

La chaleur dégagée par les courants de Foucault lors de l’entrée dans la machine est-elle dangereuse ?

Coup de pouce 1
On peut modéliser le corps humain par un cylindre dont il faudra estimer les dimensions.
Coup de pouce 2
L’expression de la puissance dissipée par les courants de Foucault dans un cylindre conducteur soumis à un champ magnétique variable a été établie en cours.
Coup de pouce 3
Bien que le champ magnétique de l’IRM soit stationnaire dans le référentiel de la salle, il varie dans le référentiel du patient en mouvement.
Coup de pouce 4
On peut approximer le champ dans le référentiel du patient par un signal sinusoïdal. Estimer la durée nécessaire pour passer du minimum au maximum.
Corrigé

On modélise le corps humain par un cylindre conducteur de rayon 𝑅=0,2 m et de hauteur ℎ=1,7 m.

On estime la taille de l’IRM à 𝑙=1 m. Le temps d’entrée dans la machine est donc Δ𝑡=𝑙𝑣=5 s. Cette durée est la durée nécessaire pour passer du champ magnétique minimal au champ maximal. Pour un signal sinusoïdal, il s’agirait de la demi période. On note donc 𝑇=10 s. La pulsation associée est donc 𝜔=2𝜋𝑇=6⋅10−1 rad s−1.

Le champ passe de 0 à 1⁠ ⁠T : le signal sinusoïdal équivalent a une amplitude de 0,5⁠ ⁠T autour d’une valeur moyenne qui n’induit rien. Prendre 𝐵0=1 T surestime la puissance d’un facteur 4, ce qui va dans le sens de la sécurité.

La puissance moyenne dissipée par les courants de Foucault s’écrit alors

𝑃moy≈𝜋𝛾𝐵02𝜔2ℎ𝑅416=𝜋⋅0,2⋅12⋅0,62⋅1,7⋅0,2416≈4⋅10−5 W

Cette puissance est négligeable devant la puissance métabolique d’un être humain au repos (environ 100⁠ ⁠W). On en conclut que la chaleur dégagée n’est pas dangereuse.