🖥️ Inductance mutuelle entre deux spires

On cherche à calculer numériquement l’inductance mutuelle entre deux spires circulaires coplanaires de même rayon $𝑅$, dont les centres ${𝑂}_1$ et ${𝑂}_2$ sont distants de $𝑑$. On note ${\overrightarrow{𝑒}}_{𝑧}$ le vecteur unitaire normal au plan des spires, dirigé vers le lecteur sur la figure. Les deux spires sont orientées en sens inverse l’une de l’autre (voir figure) : la spire 1 est orientée selon ${\overrightarrow{𝑒}}_{𝑧}$, la spire 2 selon $-{\overrightarrow{𝑒}}_{𝑧}$. On se place dans le régime quasi-stationnaire.

1/ Déterminer les invariances du champ magnétique créé par une des spires.

2/ Quelle est la direction du champ magnétique dans le plan des spires ?

Pour $𝑑\gg 𝑅$, on peut approximer le champ magnétique créé dans le plan des spires par la spire 1, parcourue par un courant ${𝐼}_1$, par celui d’un dipôle magnétique de moment $\overrightarrow{𝑚}=𝜋{𝑅}^2{𝐼}_1{\overrightarrow{𝑒}}_{𝑧}$. Dans ce plan et hors de la spire 1, ce champ est opposé au moment : ${\overrightarrow{𝐵}}_1=-{𝐵}_1{\overrightarrow{𝑒}}_{𝑧}$ avec ${𝐵}_1=\frac{{𝜇}_0}{4𝜋}\frac{𝜋{𝑅}^2{𝐼}_1}{{𝑟}_1^3}$, où ${𝑟}_1={𝑂}_1𝑀$.

3/ Exprimer ${𝑟}_1$ en fonction de ${𝑟}_2$, ${𝜃}_2$ et $𝑑$.

4/ Montrer que le flux du champ magnétique ${\overrightarrow{𝐵}}_1$ à travers la spire 2 est donné par ${\mathrm{\Phi }}_{1\to 2}=𝐴{\int }_0^{2𝜋}\mathrm{d}{𝜃}_2{\int }_0^{𝑅}\mathrm{d}{𝑟}_2\frac{{𝑟}_2}{{\left({𝑑}^2+{𝑟}_2^2+2𝑑{𝑟}_{2}cos{𝜃}_2\right)}^{\frac{3}{2}}}$

La fonction dblquad de la bibliothèque scipy.integrate permet de calculer numériquement des intégrales doubles. L’appel dblquad(func, a, b, c, d) calcule ${\int }_{𝑎}^{𝑏}\mathrm{d}𝑥{\int }_{𝑐}^{𝑑}\mathrm{d}𝑦\text{func}\left(𝑦,𝑥\right)$. Attention à l’ordre : func prend d’abord la variable y de l’intégrale intérieure, qui va de c à d, puis la variable x de l’intégrale extérieure, qui va de a à b. dblquad retourne un couple dont le premier élément est la valeur de l’intégrale.

5/ Compléter le programme Python suivant pour calculer numériquement l’inductance mutuelle.

from scipy.integrate import dblquad
from math import cos, pi

mu_0 = ...  # Perméabilité du vide en H/m
R = 1e-2    # Rayon des spires en m

def M(d):
    """Inductance mutuelle (en H) de deux spires dont les centres sont distants de d (en m)."""
    def f(r_2, theta_2):
        return ...  # Fonction à intégrer

    intégrale, _ = dblquad(f, ..., ..., ..., ...)
    return ...

from scipy.integrate import dblquad
from math import cos, pi

mu_0 = 4e-7 * pi  # Perméabilité du vide en H/m
R = 1e-2          # Rayon des spires en m

A = mu_0 / 4 * R**2

def M(d):
    # dblquad intègre func(y, x) : r_2 est la variable interne
    def f(r_2, theta_2):
        return r_2 / ((d**2 + r_2**2 + 2 * d * r_2 * cos(theta_2))**(3/2))

    intégrale, _ = dblquad(f, 0, 2 * pi, 0, R)
    return A * intégrale

6/ Tracer l’évolution de l’inductance mutuelle $𝑀$ en fonction de la distance $𝑑$ entre les deux spires. On prendra $20$ points avec $𝑑$ variant de $5𝑅$ à $50𝑅$.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

distances = np.linspace(..., ..., ...)  # Distances en m
inductances = [... for d in distances]  # Inductances mutuelles en H
plt.plot(..., ...)
plt.xlabel('Distance d (m)')
plt.ylabel('Inductance mutuelle M (H)')
plt.show()

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
distances = np.linspace(5*R, 50*R, 20) # Distances en m
inductances = [M(d) for d in distances] # Calcul des inductances mutuelles
plt.plot(distances, inductances)
plt.xlabel('Distance d (m)')
plt.ylabel('Inductance mutuelle M (H)')
plt.title('Inductance mutuelle entre deux spires en fonction de la distance')
plt.show()