Électromagnétisme 3
Électromagnétisme dans l’ARQS

Résumé du cours

1. ARQS magnétique

1.1. Conservation de la charge

Les équations de Maxwell permettent d’obtenir l’équation locale de conservation de la charge.

Point clé 1 – Équation locale de conservation de la charge ♥︎✍
div 𝑗⃗+𝜕𝜌𝜕𝑡=0
avec 𝑗⃗ le vecteur densité volumique de courant (A m−2) ; 𝜌 la densité volumique de charge (C m−3) ; 𝑡 le temps (s).

1.2. Courants de déplacement

Le terme 𝜀0𝜕𝐸⃗𝜕𝑡 se nomme la densité de courant de déplacement1. Son unité est A m−2.

L’ARQS2 magnétique consiste à négliger les courants de déplacement.

Point clé 2 – Équations de Maxwell dans l’ARQS ♥︎

Hypothèse : Dans l’ARQS magnétique

div 𝐸⃗=𝜌𝜀0rot⃗𝐸⃗=−𝜕𝐵⃗𝜕𝑡div 𝐵⃗=0rot⃗𝐵⃗=𝜇0𝑗⃗
avec 𝐸⃗ le champ électrique (V m−1) ; 𝜌 la densité volumique de charge (C m−3) ; 𝜀0 la permittivité diélectrique du vide (F m−1) ; 𝐵⃗ le champ magnétique (T) ; 𝑡 le temps (s) ; 𝜇0 la perméabilité magnétique du vide (H m−1) ; 𝑗⃗ le vecteur densité volumique de courant (A m−2).
Point clé 3 – Condition d’application de l’ARQS ✍
𝜆𝜏≪𝑐
avec 𝜆 la longueur caractéristique du système (m) ; 𝜏 la durée caractéristique de variation des grandeurs (s) ; 𝑐 la célérité de la lumière dans le vide (m s−1).

1.3. Du régime stationnaire au régime variable

Dans l’ARQS magnétique, les équations de Maxwell-Thomson et Maxwell-Ampère sont les mêmes qu’en stationnaire. Tous les résultats vus dans le chapitre « Champ magnétique en régime stationnaire » restent donc valables.

Point clé 4 – Théorème d’Ampère ♥︎✍

Hypothèse : Dans l’ARQS magnétique

∮𝒞︀𝐵⃗.d𝑙⃗=𝜇0𝐼enlacé
avec 𝒞︀ une courbe fermée orientée ; 𝐵⃗ le champ magnétique (T) ; d𝑙⃗ l’élément de longueur de 𝒞︀, orienté dans son sens de parcours (m) ; 𝜇0 la perméabilité magnétique du vide (H m−1) ; 𝐼enlacé le courant électrique enlacé par la courbe d’Ampère (A).

1.4. Principe de l’ARQS

Dans l’ARQS, les courants créent des champs magnétiques (qu’on peut déterminer avec le théorème d’Ampère) qui induisent à leur tour des champs électriques (qu’on peut déterminer avec la loi de Maxwell-Faraday).

1.5. Conservation de la charge dans l’ARQS

Dans l’ARQS, l’équation locale de conservation de la charge peut être simplifiée.

Point clé 5 – Équation locale de conservation de la charge dans l’ARQS ♥︎✍

Hypothèse : Dans l’ARQS magnétique

div 𝑗⃗=0
avec 𝑗⃗ le vecteur densité volumique de courant (A m−2).

2. Induction

2.1. Circulation du champ électrique

Point clé 6 – Circulation du champ électrique ♥︎✍

Hypothèses :

  • La courbe 𝒞︀ est fermée et immobile.
  • Φ est le flux de 𝐵⃗ à travers une surface s’appuyant sur 𝒞︀, orientée par le sens de parcours de 𝒞︀ (règle de la main droite).
∮𝒞︀𝐸⃗.d𝑙⃗=−dΦd𝑡
avec 𝒞︀ une courbe fermée orientée ; 𝐸⃗ le champ électrique (V m−1) ; d𝑙⃗ l’élément de longueur de 𝒞︀, orienté dans son sens de parcours (m) ; Φ le flux du champ magnétique (T ⁠m2) ; 𝑡 le temps (s).

Dans le cas où 𝒞︀ suit un circuit électrique, on obtient la loi de Lenz-Faraday.

Point clé 7 – Loi de Lenz-Faraday ♥︎

Hypothèses :

  • La force électromotrice 𝑒 est orientée dans le sens de parcours du circuit (convention générateur).
  • La surface sur laquelle on calcule Φ est orientée par ce même sens de parcours.
𝑒=−dΦd𝑡
avec 𝑒 la force électromotrice (V) ; Φ le flux du champ magnétique (T ⁠m2) ; 𝑡 le temps (s).
Application 1 ✍
Un circuit électrique carré de côté 𝑎 comportant un condensateur de capacité 𝐶 et un résistor de résistance 𝑅 est placé dans un champ magnétique 𝐵⃗=𝐵0cos(𝜔𝑡)𝑒⃗𝑧 qui lui est orthogonal. Représenter le circuit électrique équivalent.

2.2. Courants de Foucault

Lorsqu’un cylindre conducteur est placé dans un champ magnétique oscillant, des courants y apparaissent. Ces courants sont appelés courants de Foucault.

Point clé 8 – Courants de Foucault ✍

Hypothèses :

  • À l’intérieur du cylindre.
  • Dans l’ARQS.
  • Le cylindre est plongé dans un champ magnétique uniforme 𝐵⃗=𝐵0cos(𝜔𝑡)𝑒⃗𝑧 parallèle à son axe.
  • Le champ induit par les courants de Foucault est négligé.
𝐸⃗=12𝐵0𝜔𝑟sin(𝜔𝑡)𝑒⃗𝜃
avec 𝐸⃗ le champ électrique (V m−1) ; 𝐵0 l’amplitude du champ magnétique extérieur (T) ; 𝜔 la pulsation (rad s−1) ; 𝑟 la distance à l’axe du cylindre (m) ; 𝑡 le temps (s).

La présence d’un champ électrique dans un milieu conducteur entraine la production de chaleur par effet Joule3.

Les courants de Foucault ont la même direction et le même sens que le champ électrique induit. Ils forment des boucles orthogonales au champ magnétique.

Point clé 9 – Densité volumique de puissance dissipée par effet Joule ♥︎

Hypothèses :

  • Dans un conducteur ohmique
  • Dans l’ARQS
𝒫︀vol=𝛾𝐸2
avec 𝒫︀vol la densité volumique de puissance dissipée par effet Joule (W m−3) ; 𝛾 la conductivité électrique (S m−1) ; 𝐸⃗ le champ électrique (V m−1).
Point clé 10 – Puissance moyenne dissipée par les courants de Foucault ✍

Hypothèses :

  • Dans un conducteur ohmique.
  • Dans l’ARQS.
  • Le cylindre est plongé dans un champ magnétique uniforme 𝐵⃗=𝐵0cos(𝜔𝑡)𝑒⃗𝑧 parallèle à son axe.
  • Le champ induit par les courants de Foucault est négligé.
𝑃moy=𝜋𝛾𝐵02𝜔2ℎ𝑎416
avec 𝑃moy la puissance moyenne dissipée dans le cylindre (W) ; 𝛾 la conductivité électrique (S m−1) ; 𝐵0 l’amplitude du champ magnétique extérieur (T) ; 𝜔 la pulsation (rad s−1) ; ℎ la hauteur du cylindre (m) ; 𝑎 le rayon du cylindre (m).
Application 2 ✍

Une casserole en aluminium (𝛾Al=3,5⋅107 S m−1) a un fond de rayon 9⁠ ⁠cm et d’épaisseur 3⁠ ⁠mm. Elle est posée sur une plaque à induction qui crée, au niveau du fond, un champ magnétique oscillant de fréquence 25⁠ ⁠kHz et d’amplitude de l’ordre de 10⁠ ⁠mT. Une plaque domestique fournit au plus quelques kilowatts.

  1. Calculer la puissance dissipée que prévoit le modèle du cours. Commenter.
  2. Le champ créé au centre du fond par les courants de Foucault vaut environ 𝜇0𝛾𝜔𝐵0𝑎ℎ/4. Le comparer à 𝐵0. Le modèle est-il valable ?
  3. D’après la loi de Lenz, ce champ s’oppose au champ créé par la plaque. Conclure sur la possibilité d’utiliser des ustensiles en aluminium sur une plaque à induction.

2.3. Intérêt du feuilletage

Dans les transformateurs et dans les moteurs, des pièces métalliques sont placées dans des champs magnétiques variables et sont donc le siège de courants de Foucault. Ces courants de Foucault représentent des pertes qu’on souhaite limiter.

Pour limiter les pertes par courants de Foucault, on utilise le feuilletage. Le feuilletage consiste à découper la pièce métallique en feuillets séparés par de l’isolant électrique afin d’empêcher les courants de Foucault de circuler. Les feuillets doivent être parallèles au champ magnétique. Les boucles de courants de Foucault sont ainsi limitées.

Fig. 1. – Transformateur et rotor d'un moteur électrique dont le feuilletage est visible.

3. Inductance propre, inductance mutuelle

3.1. Cas du solénoïde

Point clé 11 – Champ magnétique et flux pour un solénoïde ✍

Hypothèses :

  • Les effets de bord sont négligés.
  • Le champ magnétique est nul à l’extérieur du solénoïde.
  • Le solénoïde est assimilé à une succession de spires resserrées et d’espacement constant.
𝐵⃗=𝜇0𝑁𝑙𝑖𝑒⃗𝑧Φ=𝜋𝑅2𝜇0𝑁2𝑙𝑖
avec 𝐵⃗ le champ magnétique (T) ; 𝜇0 la perméabilité magnétique du vide (H m−1) ; 𝑁 le nombre de spires (sans unité) ; 𝑙 la longueur du solénoïde (m) ; 𝑖 l’intensité du courant (A) ; Φ le flux du champ magnétique (T ⁠m2) ; 𝑅 le rayon du solénoïde (m).

Le flux magnétique propre est proportionnel au courant. Cette propriété peut être généralisée. Le coefficient de proportionnalité est l’inductance propre.

Point clé 12 – Inductance propre ♥︎
Φ=𝐿𝑖
avec Φ le flux du champ magnétique (T ⁠m2) ; 𝐿 l’inductance propre (H) ; 𝑖 l’intensité du courant (A).
Application 3 ✍
Calculer l’inductance propre d’un solénoïde de 10⁠ ⁠cm de long et de 1⁠ ⁠cm de rayon comportant 1000 spires.
Point clé 13 – Relation tension-courant pour une bobine ♥︎✍

Hypothèse : En convention récepteur

𝑢𝐿=𝐿d𝑖d𝑡
avec 𝑢𝐿 la tension aux bornes de la bobine (V) ; 𝐿 l’inductance propre (H) ; 𝑖 l’intensité du courant (A) ; 𝑡 le temps (s).

3.2. Énergie stockée

Point clé 14 – Énergie stockée dans une bobine ♥︎✍
ℰ︀=12𝐿𝑖2
avec ℰ︀ l’énergie stockée (J) ; 𝐿 l’inductance propre (H) ; 𝑖 l’intensité du courant (A).

Dans l’exemple d’un solénoïde, l’énergie stockée s’écrit ℰ︀=12𝜇0𝜋𝑅2𝑁2𝑙𝑖2. On peut utiliser cette expression pour exprimer la densité volumique d’énergie magnétique.

Point clé 15 – Densité volumique d’énergie magnétique ♥︎✍

Hypothèse : L’expression obtenue pour un solénoïde peut être généralisée.

𝑤=𝐵22𝜇0
avec 𝑤 la densité volumique d’énergie magnétique (J m−3) ; 𝐵⃗ le champ magnétique (T) ; 𝜇0 la perméabilité magnétique du vide (H m−1).

3.3. Inductance mutuelle

Lorsque deux bobines sont présentes simultanément, le champ magnétique créé par l’une peut induire une tension dans l’autre. Ce phénomène s’appelle induction mutuelle.

Point clé 16 – Flux magnétique ♥︎
Φ1=Φ1→1+Φ2→1=𝐿1𝑖1+𝑀𝑖2
avec Φ1 le flux magnétique total à travers la bobine 1 (T ⁠m2) ; Φ1→1 le flux propre de la bobine 1 (T ⁠m2) ; Φ2→1 le flux mutuel, créé par la bobine 2 à travers la bobine 1 (T ⁠m2) ; 𝐿1 l’inductance propre de la bobine 1 (H) ; 𝑖1 l’intensité du courant circulant dans la bobine 1 (A) ; 𝑀 l’inductance mutuelle entre la bobine 1 et la bobine 2 (H) ; 𝑖2 l’intensité du courant circulant dans la bobine 2 (A).

L’inductance mutuelle 𝑀 dépend de la géométrie et de la position relative des deux bobines. Elle est algébrique : changer le sens d’orientation d’une des bobines change son signe. Si les bobines sont infiniment éloignées, 𝑀=0.

Point clé 17 – Énergie stockée dans deux bobines en interaction ♥︎✍
ℰ︀=12𝐿1𝑖12+12𝐿2𝑖22+𝑀𝑖1𝑖2
avec ℰ︀ l’énergie stockée (J) ; 𝐿1 l’inductance propre de la bobine 1 (H) ; 𝐿2 l’inductance propre de la bobine 2 (H) ; 𝑖1 l’intensité du courant circulant dans la bobine 1 (A) ; 𝑖2 l’intensité du courant circulant dans la bobine 2 (A) ; 𝑀 l’inductance mutuelle entre la bobine 1 et la bobine 2 (H).

En plus de l’énergie stockée dans chacune des bobines 12𝐿1𝑖12 et 12𝐿2𝑖22, un troisième terme 𝑀𝑖1𝑖2 correspondant à l’interaction des bobines apparait.

L’inductance mutuelle d’un circuit 1 sur un circuit 2 est la même que celle du circuit 2 sur le circuit 1 : Φ1→2𝑖1=Φ2→1𝑖2=𝑀.

Point clé 18 – Valeur limite de l’inductance mutuelle ♥︎✍
𝑀2≤𝐿1𝐿2
avec 𝑀 l’inductance mutuelle entre la bobine 1 et la bobine 2 (H) ; 𝐿1 l’inductance propre de la bobine 1 (H) ; 𝐿2 l’inductance propre de la bobine 2 (H).
  1. 1Il est parfois appelé simplement courant de déplacement par abus de langage.
  2. 2approximation des régimes quasi-stationnaires
  3. 3Les détails de cette production de chaleur seront étudiés dans le chapitre “Transport de charge”.