Coaxial — Électromagnétisme 3 : Électromagnétisme dans l'ARQS

Un câble coaxial, considéré comme infiniment long et placé dans un milieu de perméabilité magnétique

𝜇_{0}

, est formé de deux armatures cylindriques de même axe

(𝑂, 𝑧)

. L’armature intérieure (l’âme) est un cylindre creux de rayon

𝑎

. L’armature extérieure (la gaine) est un cylindre creux de rayon

𝑏

. Le courant continu d’intensité

𝐼

qui circule dans l’âme, dans le sens de

+ {\vec{𝑒}}_{𝑧}

, revient avec la même intensité dans la gaine selon

- {\vec{𝑒}}_{𝑧}

. Ce câble constitue un circuit fermé.

À un point

𝑀

de l’espace, on associera les coordonnées cylindriques

(𝑟, 𝜃, 𝑧)

et la base cylindrique directe

({\vec{𝑒}}_{𝑟}, {\vec{𝑒}}_{𝜃}, {\vec{𝑒}}_{𝑧})

1/ Déterminer l’orientation du champ magnétique

\vec{𝐵} (𝑀)

créé par ce câble ainsi que les variables dont il peut dépendre en un point

𝑀

quelconque de l’espace.

Coup de pouce 1

Procéder par analyse des symétries et des invariances.

Corrigé

Analyse des invariances La distribution des courants est invariante par translation selon l’axe $𝑧$ du câble et par rotation autour de cet axe ( $𝜃$ ). D’après le principe de Curie, il en va de même pour le champ magnétostatique $\vec{𝐵}$ . Par conséquent, $\vec{𝐵} = \vec{𝐵} (𝑟)$ .

Analyse des symétries La distribution des courants est symétrique par rapport au plan passant par $𝑀$ et perpendiculaire à ${\vec{𝑒}}_{𝜃}$ (le plan $(𝑀, {\vec{𝑒}}_{𝑟}, {\vec{𝑒}}_{𝑧})$ ). Par conséquent, $\vec{𝐵} (𝑀)$ est dirigé selon ${\vec{𝑒}}_{𝜃}$ .

2/ Déterminer

\vec{𝐵} (𝑀)

pour un point intérieur à l’âme (

𝑟 < 𝑎

), ou extérieur à la gaine (

𝑏 < 𝑟

Coup de pouce 1

Quel est le courant entouré par la courbe d’Ampère dans les deux cas ?

Corrigé

On choisit comme courbe d’Ampère un cercle de rayon $𝑟$ centré sur l’axe du câble et orienté selon $+ {\vec{𝑒}}_{𝜃}$ .

Le théorème d’Ampère s’écrit :

\oint \vec{𝐵} (𝑀) . \vec{d 𝑙} = 2 𝜋 𝑟 𝐵 (𝑟) = 𝜇_{0} 𝐼_{enlacé}

Pour $𝑟 < 𝑎$ , le courant entouré est nul ( $𝐼_{enlacé} = 0$ ) donc $𝐵 (𝑟) = 0$ .

Pour $𝑏 < 𝑟$ , le courant entouré est nul également ( $𝐼_{enlacé} = 𝐼 - 𝐼 = 0$ ) donc $𝐵 (𝑟) = 0$ .

3/ Exprimer le champ magnétostatique

\vec{𝐵} (𝑀)

créé par ce câble en tout point

𝑀

situé à la distance

𝑟

de son axe,

𝑎 < 𝑟 < 𝑏

Coup de pouce 1

Appliquer le théorème d’Ampère.

Corrigé

Dans ce cas, le courant entouré par la courbe d’Ampère est $𝐼_{enlacé} = 𝐼$ . On a donc

\vec{𝐵} = \frac{𝜇_{0} 𝐼}{2 𝜋 𝑟} {\vec{𝑒}}_{𝜃}

4/ Déterminer le flux de

\vec{𝐵} (𝑀)

à travers une surface rectangulaire

𝑃 𝑄 𝑅 𝑆

correspondant à une longueur

𝑙

du câble, orientée dans le sens de

+ {\vec{𝑒}}_{𝜃}

Coup de pouce 1

Quelle est l’expression du

\vec{d 𝑆}

correspondant en coordonnées cylindriques ?

Corrigé

On choisit comme surface élémentaire $\vec{d 𝑆} = d 𝑟 d 𝑧 {\vec{𝑒}}_{𝜃}$ . Le flux s’écrit donc :

Φ = \iint_{𝑆} \vec{𝐵} . \vec{d 𝑆} = \int_{𝑧 = 0}^{𝑙} \int_{𝑟 = 𝑎}^{𝑏} \frac{𝜇_{0} 𝐼}{2 𝜋 𝑟} d 𝑟 d 𝑧 = \frac{𝜇_{0} 𝐼 𝑙}{2 𝜋} ln (\frac{𝑏}{𝑎})

5/ Rappeler l’expression générale qui lie le flux de

\vec{𝐵} (𝑀)

à l’inductance propre (ou coefficient d’auto-inductance) et en déduire l’inductance

𝐿

d’une longueur

𝑙

du câble en fonction de

𝜇_{0}

𝑙

𝑎

𝑏

Coup de pouce 1

Rappeler la définition de l’inductance propre.

Corrigé

Le flux s’écrit $Φ = 𝐿 𝐼$ . On en déduit donc :

𝐿 = \frac{𝜇_{0} 𝑙}{2 𝜋} ln (\frac{𝑏}{𝑎})

6/ Effectuer l’application numérique pour un câble standard, où

𝑙 = 1 m

𝑎 = 1

⋅10−3 m et

𝑏 = 3

⋅10−3 m.

Inductance d’un câble coaxial