Orage — Électromagnétisme 2 : Champ magnétique en régime stationnaire

Au cours d’un orage, un éclair peut être assimilé à un conduit cylindrique rectiligne de rayon

𝑎 = 10 cm

parcouru par un courant

𝐼 = 1

⋅105 A de densité volumique de courant uniforme. On suppose dans un premier temps le courant ascendant et on néglige les effets de bord. On se place en coordonnées cylindriques d’axe

(𝑂 𝑧)

, celui du conduit.

1/ Faire un schéma et expliquer pourquoi les électrons de ce courant sont soumis à une force magnétique de Lorentz. Quel est son sens ?

Coup de pouce 1

Quelle est la direction de la vitesse des électrons ? Celle du champ magnétique créé par le courant ?

Corrigé

Les électrons sont des particules chargées en mouvement dans le champ magnétique créé par le courant : ils subissent la partie magnétique de la force de Lorentz $\vec{𝑓} = (- 𝑒) \vec{𝑣} \land \vec{𝐵}$ .

Le courant est ascendant donc $\vec{𝑗} = 𝑗 {\vec{𝑒}}_{𝑧}$ avec $𝑗 > 0$ , et la vitesse des électrons est selon $- {\vec{𝑒}}_{𝑧}$ . Le champ créé par le fil est orthoradial, $\vec{𝐵} = 𝐵 (𝑟) {\vec{𝑒}}_{𝜃}$ avec $𝐵 (𝑟) > 0$ . La force sur un électron est

\vec{𝑓} = (- 𝑒) (- 𝑣 {\vec{𝑒}}_{𝑧}) \land (𝐵 {\vec{𝑒}}_{𝜃}) = 𝑒 𝑣 𝐵 ({\vec{𝑒}}_{𝑧} \land {\vec{𝑒}}_{𝜃}) = - 𝑒 𝑣 𝐵 {\vec{𝑒}}_{𝑟}

Elle est dirigée vers l’axe du conduit : le courant tend à se resserrer (effet de pincement magnétique).

Coup de pouce 1

Relier le courant total à

\vec{𝑗}

, uniforme sur la section du conduit.

Corrigé

$\vec{𝑗}$ est uniforme et dirigé selon ${\vec{𝑒}}_{𝑧}$ . Le courant total est le flux de $\vec{𝑗}$ à travers une section :

𝐼 = \iint \vec{𝑗} \cdot \vec{d 𝑆} = 𝑗 𝜋 𝑎^{2} \Rightarrow \vec{𝑗} = \frac{𝐼}{𝜋 𝑎^{2}} {\vec{𝑒}}_{𝑧}

3/ Déterminer

\vec{𝐵}

au niveau du bord du conduit, puis exprimer la norme de la force magnétique par unité de volume subie par les charges, en fonction de

𝐼

𝑎

Coup de pouce 1

Effectuer les quatre étapes : invariances, symétries, choix du contour d’Ampère, théorème d’Ampère.

Coup de pouce 2

On ne demande

\vec{𝐵}

qu’au bord du conduit, en

𝑟 = 𝑎

Corrigé

Invariances. La distribution de courant est invariante par rotation d’angle $𝜃$ et par translation selon $𝑧$ : $\vec{𝐵}$ ne dépend que de $𝑟$ .

Symétries. Pour un point $𝑀$ , le plan $(𝑀, {\vec{𝑒}}_{𝑟}, {\vec{𝑒}}_{𝑧})$ est un plan de symétrie de la distribution de courant : $\vec{𝐵} (𝑀)$ lui est orthogonal, donc $\vec{𝐵} = 𝐵 (𝑟) {\vec{𝑒}}_{𝜃}$ .

Contour d’Ampère. On choisit le cercle $𝒞︀$ de rayon $𝑟 = 𝑎$ , d’axe $(𝑂 𝑧)$ , orienté selon ${\vec{𝑒}}_{𝜃}$ .

Théorème d’Ampère.

\oint_{𝒞︀} \vec{𝐵} \cdot \vec{d 𝑙} = 2 𝜋 𝑎 𝐵 (𝑎) = 𝜇_{0} 𝐼_{enlacé} = 𝜇_{0} 𝐼

d’où, au bord du conduit,

\vec{𝐵} (𝑎) = \frac{𝜇_{0} 𝐼}{2 𝜋 𝑎} {\vec{𝑒}}_{𝜃}

La force volumique subie par les porteurs est ${\vec{𝑓}}_{vol} = \vec{𝑗} \land \vec{𝐵}$ (force de Laplace volumique). Au bord :

{\vec{𝑓}}_{vol} = \frac{𝐼}{𝜋 𝑎^{2}} {\vec{𝑒}}_{𝑧} \land \frac{𝜇_{0} 𝐼}{2 𝜋 𝑎} {\vec{𝑒}}_{𝜃} = - \frac{𝜇_{0} 𝐼^{2}}{2 𝜋^{2} 𝑎^{3}} {\vec{𝑒}}_{𝑟}

soit une norme

‖ {\vec{𝑓}}_{vol} ‖ = \frac{𝜇_{0} 𝐼^{2}}{2 𝜋^{2} 𝑎^{3}}

Coup de pouce 1

Quel serait alors le sens de

\vec{𝑣}

? Celui de

\vec{𝐵}

Corrigé

Non. Si le courant est descendant,

\vec{𝑗}

change de sens (donc

\vec{𝐵}

aussi) et la vitesse des électrons change également de sens. La force

\vec{𝑗} \land \vec{𝐵}

, proportionnelle au carré du courant, est inchangée : elle reste dirigée vers l’axe. L’effet de pincement ne dépend pas du sens du courant.

5/ Faire l’application numérique de cette force volumique et la comparer au poids volumique de l’air. Pourquoi les éclairs causent-ils le tonnerre¹ ?

Coup de pouce 1

Relier le poids volumique à la masse volumique de l’air, environ

1,2

⁠

kg m^{- 3}

Coup de pouce 2

Que se passe-t-il quand un gaz est brutalement soumis à une force très intense ?

Corrigé

‖ {\vec{𝑓}}_{vol} ‖ = \frac{𝜇_{0} 𝐼^{2}}{2 𝜋^{2} 𝑎^{3}} = \frac{4 𝜋 \times 10^{- 7} \times {(10^{5})}^{2}}{2 𝜋^{2} \times {(0,1)}^{3}} \approx 6

⋅105 N m−3

Le poids volumique de l’air vaut $𝜌_{air} 𝑔 \approx 1,2 \times 9,8 \approx 12 N m^{- 3}$ , soit environ $5$ ⋅104 fois moins.

La force de pincement comprime donc très violemment le gaz du canal ionisé, qui est en outre porté à très haute température par effet Joule. Cette compression brutale suivie d’une détente engendre une onde de choc dans l’air : c’est le tonnerre.

Remarque : le pincement n’est pas le seul responsable, et l’effet de l’échauffement est même prépondérant. En quelques microsecondes, l’effet Joule porte le canal à près de $30 000$ ⁠⁠ $K$ : sa pression atteint alors au moins une dizaine de fois la pression atmosphérique, quand la pression due au pincement, $\frac{𝜇_{0} 𝐼^{2}}{4 𝜋^{2} 𝑎^{2}}$ sur l’axe, ne vaut que $3$ ⋅104⁠⁠ $Pa$ . C’est surtout la brusque dilatation de ce gaz surchauffé qui produit l’onde de choc.