Électromagnétisme 2
Champ magnétique en régime stationnaire

Résumé du cours

1. Notion de courant électrique

Le courant électrique correspond à un déplacement de porteurs de charge. La répartition des courants peut être modélisée de plusieurs manières.

1.1. Distribution volumique

𝑗⃗(𝑀,𝑡) désigne le vecteur densité volumique de courant électrique au point 𝑀 et à l’instant 𝑡.

Point clé 1 – Courant en description volumique ♥︎
𝐼=∬𝑗⃗⋅d𝑆⃗
avec 𝐼 le courant électrique (A) ; 𝑗⃗ le vecteur densité volumique de courant électrique (A m−2) ; d𝑆⃗ le vecteur surface élémentaire, normal à la surface et orienté (m2).

1.2. Distribution surfacique

𝑗⃗𝑆(𝑀,𝑡) désigne le vecteur densité surfacique de courant électrique au point 𝑀 et à l’instant 𝑡. Ce modèle décrit un courant circulant dans une couche d’épaisseur négligeable devant l’échelle de description.

Point clé 2 – Courant en description surfacique ♥︎
𝐼=∫𝑗⃗𝑆⋅𝑛⃗d𝑙
avec 𝐼 le courant électrique (A) ; 𝑗⃗𝑆 le vecteur densité surfacique de courant électrique (A m−1) ; 𝑛⃗ le vecteur unitaire normal à la courbe traversée par le courant, tangent à la surface et orienté ; d𝑙 l’élément de longueur de la courbe traversée (m).

1.3. Distribution linéique

𝐼 désigne le courant circulant dans un objet filiforme.

2. Propriétés du champ magnétostatique

2.1. Équations de Maxwell

Le comportement du champ magnétique est régi par les équations de Maxwell-Thomson et de Maxwell-Ampère.

Point clé 3 – Équation de Maxwell-Thomson ♥︎
div 𝐵⃗=0
avec 𝐵⃗ le champ magnétique (T).
Point clé 4 – Équation de Maxwell-Ampère ♥︎
rot⃗𝐵⃗=𝜇0𝑗⃗+𝜇0𝜀0𝜕𝐸⃗𝜕𝑡
avec 𝐵⃗ le champ magnétique (T) ; 𝑗⃗ le vecteur densité volumique de courant électrique (A m−2) ; 𝐸⃗ le champ électrique (V m−1) ; 𝜇0 la perméabilité magnétique du vide (4𝜋×10−7H m−1) ; 𝜀0 la permittivité diélectrique du vide (F m−1).

En régime stationnaire, 𝜕𝐸⃗𝜕𝑡=0⃗ et l’équation de Maxwell-Ampère se réduit à

rot⃗𝐵⃗=𝜇0𝑗⃗

2.2. Théorème de superposition

Les équations de Maxwell sont linéaires : le champ magnétique résultant de plusieurs distributions de courant est la somme vectorielle des champs magnétiques créés par chacune d’elles.

2.3. Conservation du flux du champ magnétique

Point clé 5 – Conservation du flux de 𝐵⃗ ♥︎✍
Le champ magnétique est à flux conservatif, et ce sans aucune condition.

Du fait de cette propriété, l’équation de Maxwell-Thomson est parfois appelée équation de Maxwell-flux. L’évasement d’un tube de champ s’accompagne alors de la diminution de la norme du champ magnétique.

2.4. Forces causées par un champ magnétique

Le champ magnétique exerce une force sur les particules chargées en mouvement. Son expression dépend de la description du déplacement des charges.

2.4.1. Description ponctuelle

Une particule chargée est animée d’une vitesse.

Point clé 6 – Force magnétique subie par une particule ponctuelle ♥︎
𝐹⃗=𝑞𝑣⃗∧𝐵⃗
avec 𝐹⃗ la partie magnétique de la force de Lorentz (N) ; 𝑞 la charge de la particule (C) ; 𝑣⃗ la vitesse de la particule chargée (m s−1) ; 𝐵⃗ le champ magnétique (T).
Application 1 ✍
Une particule de charge 𝑞 et de masse 𝑚 plongée dans un champ magnétique uniforme et stationnaire 𝐵⃗=𝐵𝑒⃗𝑧 a une trajectoire circulaire dans un plan orthogonal à 𝐵⃗. Exprimer sa vitesse angulaire.
2.4.2. Description linéique

Un fil infiniment fin est parcouru par un courant électrique.

Point clé 7 – Force de Laplace ♥︎✍
d𝐹⃗=𝐼d𝑙⃗∧𝐵⃗
avec d𝐹⃗ la force magnétique subie par l’élément de conducteur (N) ; 𝐼 le courant électrique (A) ; d𝑙⃗ l’élément de longueur orienté dans le sens du courant (m) ; 𝐵⃗ le champ magnétique (T).
Application 2 ✍
Dans les rails de Laplace, une barre traversée par un courant d’intensité 5 A dirigé selon 𝑒⃗𝑦 roule sur des rails horizontaux distants de 10 cm, en présence d’un champ magnétique vertical de norme 3⋅10−2 T dirigé selon 𝑒⃗𝑧. Calculer la norme de la force magnétique subie par la barre.
2.4.3. Description volumique

Le déplacement des charges est décrit par le vecteur densité volumique de courant.

Point clé 8 – Force de Laplace volumique ♥︎✍
d𝐹⃗=(𝑗⃗d𝑉)∧𝐵⃗
avec d𝐹⃗ la force magnétique subie par l’élément de conducteur (N) ; 𝑗⃗ le vecteur densité volumique de courant électrique (A m−2) ; d𝑉 l’élément de volume (m3) ; 𝐵⃗ le champ magnétique (T).
Application 3 ✍
Un fil épais de section 6 mm2 et de longueur 10 m est parcouru par un courant de densité volumique uniforme 𝑗⃗=𝑗𝑒⃗𝑥, le courant total valant 10 A. Calculer la norme de la force exercée par le champ magnétique terrestre (5⋅10−5 T selon 𝑒⃗𝑧), supposé orthogonal au courant.

3. Théorème d’Ampère

3.1. Invariances du champ magnétique

Les invariances de la distribution de courant contraignent la forme du champ magnétique : d’après le principe de Curie, les invariances de la distribution de courant sont aussi des invariances du champ magnétique.

3.2. Symétries du champ magnétique

Le champ magnétique est un pseudo-vecteur : il est symétrique par rapport aux plans d’antisymétrie de la distribution de courant, et antisymétrique par rapport aux plans de symétrie de la distribution de courant.

Point clé 9 – Plans de symétrie et champ magnétique ♥︎✍
Le champ magnétique est orthogonal aux plans de symétrie de la distribution de courant.
Application 4 ✍
Déterminer la direction du champ magnétique créé par un fil rectiligne infini et infiniment fin parcouru par un courant.
Point clé 10 – Plans d’antisymétrie et champ magnétique ♥︎✍
Le champ magnétique est inclus dans les plans d’antisymétrie de la distribution de courant.

3.3. Théorème d’Ampère

Le théorème d’Ampère permet de déterminer le champ magnétique à partir de la distribution de courant, lorsque celle-ci est suffisamment symétrique.

Point clé 11 – Théorème d’Ampère ♥︎✍

Hypothèse : En régime stationnaire.

∮𝒞︀𝐵⃗⋅d𝑙⃗=𝜇0𝐼enlacé
avec 𝒞︀ une courbe fermée orientée ; 𝐵⃗ le champ magnétique (T) ; d𝑙⃗ l’élément de longueur de 𝒞︀, orienté dans son sens de parcours (m) ; 𝜇0 la perméabilité magnétique du vide (4𝜋×10−7H m−1) ; 𝐼enlacé le courant enlacé par 𝒞︀, compté positivement dans le sens direct (A).

Le champ magnétique s’obtient alors par la méthode en quatre étapes : analyse des invariances, analyse des symétries, choix d’un contour d’Ampère adapté, application du théorème d’Ampère.

Application 5 ✍
Déterminer le champ magnétique créé dans tout l’espace par un fil épais de rayon 𝑅, rectiligne et infini, parcouru par un courant de densité volumique 𝑗⃗ uniforme.
Application 6 ✍
Déterminer le champ magnétique créé dans tout l’espace par un solénoïde infini de rayon 𝑅 comportant 𝑛 spires par unité de longueur parcourues par un courant 𝐼. Le solénoïde est assimilé à une succession de spires circulaires jointives ; on admet que le champ magnétique est nul à l’extérieur.
Application 7 ✍
Déterminer le champ magnétique créé par une bobine torique comportant 𝑁≫1 spires parcourues par un courant 𝐼.