Câble coaxial — Électromagnétisme 2 : Champ magnétique en régime stationnaire

On considère un câble coaxial cylindrique de longueur supposée infinie, constitué d’un conducteur central plein de rayon

𝑅_{1}

parcouru par un courant uniforme d’intensité

𝐼

, et d’un conducteur périphérique évidé, de rayon intérieur

𝑅_{2}

et de rayon extérieur

𝑅_{3}

(avec

𝑅_{1} < 𝑅_{2} < 𝑅_{3}

), parcouru par un courant uniforme d’intensité

𝐼

circulant en sens inverse. On note

{\vec{𝑒}}_{𝑧}

le vecteur unitaire de l’axe commun et

𝑀

un point à la distance

𝑟

de l’axe.

1/ Montrer que le champ magnétique

\vec{𝐵}

créé au point

𝑀

est orthoradial.

Corrigé

Pour un point

𝑀

, le plan

(𝑀, {\vec{𝑒}}_{𝑟}, {\vec{𝑒}}_{𝑧})

contient l’axe et est plan de symétrie de la distribution :

\vec{𝐵} (𝑀)

lui est orthogonal, donc

\vec{𝐵} = 𝐵 {\vec{𝑒}}_{𝜃}

2/ Montrer qu’il se met sous la forme

\vec{𝐵} = 𝐵 (𝑟) {\vec{𝑒}}_{𝜃}

Corrigé

La distribution de courant est invariante par rotation d’angle

𝜃

et par translation selon

𝑧

: d’après le principe de Curie,

\vec{𝐵}

possède les mêmes invariances et ne dépend donc que de

𝑟

. Avec la question précédente,

\vec{𝐵} = 𝐵 (𝑟) {\vec{𝑒}}_{𝜃}

Coup de pouce 1

Les lignes de champ sont en tout point colinéaires à

\vec{𝐵}

Corrigé

\vec{𝐵}

est orthoradial et ne dépend que de

𝑟

: les lignes de champ sont des cercles centrés sur l’axe

(𝑂 𝑧)

et situés dans des plans orthogonaux à l’axe.

4/ Montrer que le champ magnétique créé au point

𝑀

est nul si

𝑟 > 𝑅_{3}

Coup de pouce 1

Quel est le courant enlacé par un cercle de rayon

𝑟 > 𝑅_{3}

Corrigé

On applique le théorème d’Ampère au cercle $𝒞︀$ d’axe $(𝑂 𝑧)$ , de rayon $𝑟$ , orienté selon ${\vec{𝑒}}_{𝜃}$ :

2 𝜋 𝑟 𝐵 (𝑟) = 𝜇_{0} 𝐼_{enlacé}

Pour $𝑟 > 𝑅_{3}$ , le contour enlace les deux conducteurs : $𝐼_{enlacé} = 𝐼 + (- 𝐼) = 0$ , donc $\vec{𝐵} = \vec{0}$ . À l’extérieur, le câble coaxial ne crée pas de champ magnétique.

5/ Calculer les densités volumiques de courant

{\vec{𝑗}}_{1}

{\vec{𝑗}}_{2}

dans le conducteur central et dans le conducteur périphérique, en fonction de

𝐼

𝑅_{1}

𝑅_{2}

𝑅_{3}

Coup de pouce 1

Aire du disque de rayon

𝑅_{1}

; aire de la couronne entre

𝑅_{2}

𝑅_{3}

Corrigé

Les densités sont uniformes et dirigées selon ${\vec{𝑒}}_{𝑧}$ .

Conducteur central : $𝐼 = 𝑗_{1} 𝜋 𝑅_{1}^{2}$ , donc

{\vec{𝑗}}_{1} = \frac{𝐼}{𝜋 𝑅_{1}^{2}} {\vec{𝑒}}_{𝑧}

Conducteur périphérique : $- 𝐼 = 𝑗_{2} (𝜋 𝑅_{3}^{2} - 𝜋 𝑅_{2}^{2})$ , donc

{\vec{𝑗}}_{2} = - \frac{𝐼}{𝜋 (𝑅_{3}^{2} - 𝑅_{2}^{2})} {\vec{𝑒}}_{𝑧}

6/ En appliquant le théorème d’Ampère à un contour

𝒞︀

que l’on précisera, donner

𝐵 (𝑟)

pour

𝑟 < 𝑅_{1}

, pour

𝑅_{1} < 𝑟 < 𝑅_{2}

et pour

𝑅_{2} < 𝑟 < 𝑅_{3}

Coup de pouce 1

Choisir le contour de sorte que

\vec{d 𝑙}

soit colinéaire à

\vec{𝐵}

Corrigé

On garde le cercle $𝒞︀$ de rayon $𝑟$ orienté selon ${\vec{𝑒}}_{𝜃}$ : $2 𝜋 𝑟 𝐵 (𝑟) = 𝜇_{0} 𝐼_{enlacé}$ .

$𝑟 < 𝑅_{1}$ : $𝐼_{enlacé} = 𝑗_{1} 𝜋 𝑟^{2} = 𝐼 \frac{𝑟^{2}}{𝑅_{1}^{2}}$ , d’où

\vec{𝐵} = \frac{𝜇_{0} 𝐼 𝑟}{2 𝜋 𝑅_{1}^{2}} {\vec{𝑒}}_{𝜃}

$𝑅_{1} < 𝑟 < 𝑅_{2}$ : $𝐼_{enlacé} = 𝐼$ , d’où

\vec{𝐵} = \frac{𝜇_{0} 𝐼}{2 𝜋 𝑟} {\vec{𝑒}}_{𝜃}

$𝑅_{2} < 𝑟 < 𝑅_{3}$ : le contour enlace tout le courant central et une fraction du courant retour :

𝐼_{enlacé} = 𝐼 - \frac{𝐼}{𝜋 (𝑅_{3}^{2} - 𝑅_{2}^{2})} 𝜋 (𝑟^{2} - 𝑅_{2}^{2}) = 𝐼 \frac{𝑅_{3}^{2} - 𝑟^{2}}{𝑅_{3}^{2} - 𝑅_{2}^{2}}

d’où

\vec{𝐵} = \frac{𝜇_{0} 𝐼 (𝑅_{3}^{2} - 𝑟^{2})}{2 𝜋 𝑟 (𝑅_{3}^{2} - 𝑅_{2}^{2})} {\vec{𝑒}}_{𝜃}

Corrigé

$𝐵$ croît linéairement de $0$ à $\frac{𝜇_{0} 𝐼}{2 𝜋 𝑅_{1}}$ dans le conducteur central, décroit en $\frac{1}{𝑟}$ entre $𝑅_{1}$ et $𝑅_{2}$ , puis décroit jusqu’à $0$ en $𝑟 = 𝑅_{3}$ ; il est nul au-delà.