Bobine torique — Électromagnétisme 2 : Champ magnétique en régime stationnaire

Une bobine est constituée d’un fil conducteur bobiné en spires jointives sur un tore circulaire à section carrée de côté

𝑎

et de rayon moyen

𝑅

. On désigne par

𝑁

le nombre total de spires et par

𝐼

le courant qui les parcourt. On note

(𝑂 𝑧)

l’axe de symétrie du tore. On s’intéresse au champ magnétique à l’intérieur du tore et on repère un point

𝑀 (𝑟, 𝑧)

en coordonnées cylindriques.

1/ Montrer que le champ magnétique en un point

𝑀 (𝑟, 𝑧)

à l’intérieur du tore se met sous la forme

𝐵 = \frac{𝜇_{0} 𝑁 𝐼}{2 𝜋 𝑟}

Coup de pouce 1

Effectuer les quatre étapes : invariances, symétries, choix du contour d’Ampère, théorème d’Ampère.

Corrigé

Invariances. La distribution de courant est (quasi) invariante par rotation d’angle $𝜃$ ( $𝑁 ≫ 1$ ) : $\vec{𝐵}$ ne dépend que de $𝑟$ et $𝑧$ .

Symétries. Pour un point $𝑀$ , le plan $(𝑀, {\vec{𝑒}}_{𝑟}, {\vec{𝑒}}_{𝑧})$ est plan de symétrie de la distribution de courant : $\vec{𝐵} (𝑀)$ lui est orthogonal, donc $\vec{𝐵} = 𝐵 (𝑟, 𝑧) {\vec{𝑒}}_{𝜃}$ .

Contour d’Ampère. On choisit le cercle $𝒞︀$ d’axe $(𝑂 𝑧)$ , de rayon $𝑟$ , passant par $𝑀$ et orienté selon ${\vec{𝑒}}_{𝜃}$ .

Théorème d’Ampère.

\oint_{𝒞︀} \vec{𝐵} \cdot \vec{d 𝑙} = 2 𝜋 𝑟 𝐵 (𝑟, 𝑧) = 𝜇_{0} 𝐼_{enlacé}

Le contour enlace les $𝑁$ spires, chacune parcourue par $𝐼$ : $𝐼_{enlacé} = 𝑁 𝐼$ à l’intérieur du tore (et $0$ à l’extérieur). Donc $𝐵$ ne dépend pas de $𝑧$ et

\vec{𝐵} = \frac{𝜇_{0} 𝑁 𝐼}{2 𝜋 𝑟} {\vec{𝑒}}_{𝜃}

2/ Déterminer le flux

Φ

du champ magnétique à travers la surface d’une spire, dont la normale est orientée dans le sens du champ.

Coup de pouce 1

Sur quelles variables intégrer, et entre quelles bornes ?

Coup de pouce 2

Un élément de surface orienté selon

{\vec{𝑒}}_{𝜃}

s’écrit

d 𝑟 d 𝑧

Corrigé

Une spire est un carré de côté $𝑎$ situé dans un plan méridien, entre $𝑟 = 𝑅 - \frac{𝑎}{2}$ et $𝑟 = 𝑅 + \frac{𝑎}{2}$ et entre deux cotes distantes de $𝑎$ . Sa normale est ${\vec{𝑒}}_{𝜃}$ , donc $\vec{d 𝑆} = d 𝑟 d 𝑧 {\vec{𝑒}}_{𝜃}$ :

Φ = \iint \vec{𝐵} \cdot \vec{d 𝑆} = \int_{0}^{𝑎} d 𝑧 \int_{𝑅 - \frac{𝑎}{2}}^{𝑅 + \frac{𝑎}{2}} \frac{𝜇_{0} 𝑁 𝐼}{2 𝜋 𝑟} d 𝑟 = \frac{𝜇_{0} 𝑁 𝐼 𝑎}{2 𝜋} ln (\frac{𝑅 + \frac{𝑎}{2}}{𝑅 - \frac{𝑎}{2}})

Bobine torique ★