Total Recall : Mémoires programmées — Électromagnétisme 1 : Champ électrique en régime stationnaire

Cet exercice est un problème ouvert. Il nécessite de prendre des initiatives et de faire des choix dans la modélisation. Des approximations et des estimations sont souvent nécessaires pour arriver à une solution.

Dans le film Total Recall : Mémoires programmées (2012), les ouvriers empruntent quotidiennement un train gravitationnel, « The Fall », qui traverse la Terre de part en part. Ce train n’est mû que par la gravité et tombe en chute libre jusqu’à sa destination, qu’il atteint en

17 min

Coup de pouce 1

Champ de gravitation à l’intérieur d’une Terre de masse volumique uniforme : théorème de Gauss gravitationnel.

Coup de pouce 2

Montrer que le mouvement le long d’un diamètre est harmonique.

Corrigé

On modélise la Terre par une boule de masse volumique uniforme. À l’intérieur ( $𝑟 \leq 𝑅$ ), le théorème de Gauss gravitationnel donne $𝑔 (𝑟) \times 4 𝜋 𝑟^{2} = - 4 𝜋 𝒢︀ 𝑀_{int}$ avec $𝑀_{int} = 𝑀_{𝑇} 𝑟^{3} / 𝑅^{3}$ , soit

\vec{𝑔} (𝑟) = - \frac{𝒢︀ 𝑀_{𝑇}}{𝑅^{3}} 𝑟 {\vec{𝑒}}_{𝑟}

Le long d’un diamètre, un wagon de masse $𝑚$ repéré par son abscisse $𝑥$ subit $𝑚 \ddot{𝑥} = - \frac{𝒢︀ 𝑀_{𝑇} 𝑚}{𝑅^{3}} 𝑥$ : c’est un oscillateur harmonique de pulsation

𝜔 = \sqrt{\frac{𝒢︀ 𝑀_{𝑇}}{𝑅^{3}}}

Le trajet d’un bout à l’autre correspond à une demi-période :

𝜏 = \frac{𝜋}{𝜔} = 𝜋 \sqrt{\frac{𝑅^{3}}{𝒢︀ 𝑀_{𝑇}}} \approx 𝜋 \sqrt{\frac{{(6.4 \times 10^{6})}^{3}}{6.67 \times 10^{- 11} \times 6.0 \times 10^{24}}} \approx 2,5

⋅103 s≈42 min

Le résultat ne dépend ni de la masse du wagon ni de la position des points de la Terre à relier : c’est toujours environ $42$ minutes. La durée de $17$ min annoncée dans le film n’est donc pas vraisemblable pour un train purement gravitationnel (il faudrait une gravité bien plus forte, ou une propulsion).

🤔 Total Recall : Mémoires programmées ★★