Dipôle électrostatique ★

Un dipôle est constitué d’une charge 𝑞 au point 𝐴 de coordonnées (𝑎2,0,0) et d’une charge −𝑞 au point 𝐴′ de coordonnées (−𝑎2,0,0). On étudie le champ et le potentiel électriques en un point 𝑀. On note 𝑑=𝐴𝑀, 𝑑′=𝐴′𝑀 et 𝑟=𝑂𝑀, et 𝜃 l’angle entre 𝑒⃗𝑥 et 𝑂𝑀⃗. On rappelle le gradient en coordonnées sphériques :

grad⃗𝑓=𝜕𝑓𝜕𝑟𝑒⃗𝑟+1𝑟𝜕𝑓𝜕𝜃𝑒⃗𝜃+1𝑟sin𝜃𝜕𝑓𝜕𝜑𝑒⃗𝜑

1/ Déterminer le potentiel créé par chacune des charges en fonction de 𝑑 et 𝑑′ (potentiel nul à l’infini). En déduire le potentiel total du dipôle.

Coup de pouce 1
Quel est le potentiel créé par une charge ponctuelle ?
Corrigé

Une charge ponctuelle 𝑞𝑖 à la distance 𝑑𝑖 crée le potentiel 𝑞𝑖/(4𝜋𝜀0𝑑𝑖). Par superposition :

𝑉(𝑀)=𝑞4𝜋𝜀0𝑑−𝑞4𝜋𝜀0𝑑′=𝑞4𝜋𝜀0(1𝑑−1𝑑′)

2/ Dans l’approximation 𝑟≫𝑎, montrer que

𝑉(𝑀)=14𝜋𝜀0𝑟2𝑝⃗⋅𝑒⃗𝑟

où l’on exprimera le moment dipolaire 𝑝⃗.

Coup de pouce 1
Développement limité de 1𝑑 et 1𝑑′ au premier ordre en 𝑎𝑟.
Coup de pouce 2
Loi des cosinus : 𝑑2=𝑟2+(𝑎2)2−2𝑟(𝑎2)cos𝜃.
Corrigé

Loi des cosinus : 𝑑2=𝑟2+𝑎24−𝑟𝑎cos𝜃≈𝑟2(1−𝑎cos𝜃𝑟), donc

1𝑑≈1𝑟(1+𝑎cos𝜃2𝑟)

De même avec 𝐴′ (angle 𝜋−𝜃) : 1𝑑′≈1𝑟(1−𝑎cos𝜃2𝑟). Ainsi

1𝑑−1𝑑′≈𝑎cos𝜃𝑟2⇒𝑉(𝑀)≈𝑞𝑎cos𝜃4𝜋𝜀0𝑟2

En posant 𝑝⃗=𝑞𝑎𝑒⃗𝑥, on a 𝑝⃗⋅𝑒⃗𝑟=𝑞𝑎cos𝜃, d’où

𝑉(𝑀)=𝑝⃗⋅𝑒⃗𝑟4𝜋𝜀0𝑟2

3/ En déduire l’expression du champ électrique dans la même approximation.

Coup de pouce 1
Utiliser 𝐸⃗=−grad⃗𝑉 et l’expression fournie du gradient sphérique.
Corrigé

𝑉=𝑞𝑎cos𝜃4𝜋𝜀0𝑟2 ne dépend pas de 𝜑. Donc

𝐸⃗=−grad⃗𝑉=𝑞𝑎4𝜋𝜀0𝑟3(2cos𝜃𝑒⃗𝑟+sin𝜃𝑒⃗𝜃)=14𝜋𝜀0𝑟3(2𝑝cos𝜃𝑒⃗𝑟+𝑝sin𝜃𝑒⃗𝜃)