Électromagnétisme 1
Champ électrique en régime stationnaire

Résumé du cours

1. Notion de charge électrique

La charge est une grandeur extensive. Au niveau microscopique, elle est portée par des porteurs de charge dont la charge est quantifiée : 𝑞=𝑘𝑒 avec 𝑘∈ℤ et 𝑒=1,6⋅10−19 C la charge élémentaire. Un électron porte la charge 𝑞𝑒−=−𝑒.

1.1. Description de la charge

1.1.1. Distribution volumique

𝜌(𝑀,𝑡) désigne la densité volumique de charge au point 𝑀 et à l’instant 𝑡.

Point clé 1 – Charge d’un système en description volumique ♥︎
𝑄=∭𝜌d𝜏
avec 𝑄 la charge électrique (C) ; 𝜌 la densité volumique de charge (C m−3) ; 𝜏 le volume (m3).
1.1.2. Distribution surfacique

𝜎(𝑀,𝑡) désigne la densité surfacique de charge au point 𝑀 et à l’instant 𝑡.

Point clé 2 – Charge d’un système en description surfacique ♥︎
𝑄=∬𝜎d𝑆
avec 𝑄 la charge électrique (C) ; 𝜎 la densité surfacique de charge (C m−2).
1.1.3. Distribution linéique

𝜆(𝑀,𝑡) désigne la densité linéique de charge au point 𝑀 et à l’instant 𝑡.

Point clé 3 – Charge d’un système en description linéique ♥︎
𝑄=∫𝜆d𝑙
avec 𝑄 la charge électrique (C) ; 𝜆 la densité linéique de charge (C m−1).
1.1.4. Distribution ponctuelle

𝑄 désigne la charge d’un objet ponctuel.

1.2. Charge électrique et force

Point clé 4 – Force d’interaction électrostatique (loi de Coulomb) ♥︎

Hypothèse : Les deux particules sont ponctuelles et immobiles.

𝐹⃗1/2=𝑞1𝑞24𝜋𝜀01(𝑀1𝑀2)2𝑒⃗
avec 𝐹⃗1/2 la force exercée par la particule 1 sur la particule 2 (N) ; 𝑞1 la charge de la particule 1 (C) ; 𝑞2 la charge de la particule 2 (C) ; 𝜀0 =8,85⋅10−12 F m−1 la permittivité diélectrique du vide (F m−1) ; 𝑒⃗ le vecteur unitaire dirigé de la particule 1 vers la particule 2.

La force est répulsive si les charges sont de même signe, attractive si elles sont de signes différents.

Point clé 5 – Champ électrique créé par une particule ponctuelle ♥︎✍

Hypothèses :

  • La particule est placée à l’origine du repère.
  • La particule est ponctuelle et immobile.
𝐸⃗=𝑞4𝜋𝜀01𝑟2𝑒⃗𝑟
avec 𝐸⃗ le champ électrique (V m−1) ; 𝑞 la charge de la particule (C) ; 𝜀0 =8,85⋅10−12 F m−1 la permittivité diélectrique du vide (F m−1) ; 𝑟 la distance à la charge (première coordonnée sphérique) (m) ; 𝑒⃗𝑟 le vecteur unitaire radial des coordonnées sphériques.

2. Champ et potentiel électriques

2.1. Équations de Maxwell

Le champ électrique obéit aux équations de Maxwell.

Point clé 6 – Équation de Maxwell-Gauss ♥︎
div 𝐸⃗=𝜌𝜀0
avec 𝐸⃗ le champ électrique (V m−1) ; 𝜌 la densité volumique de charge (C m−3) ; 𝜀0 =8,85⋅10−12 F m−1 la permittivité diélectrique du vide (F m−1).
Point clé 7 – Équation de Maxwell-Faraday ♥︎
rot⃗𝐸⃗=−𝜕𝐵⃗𝜕𝑡
avec 𝐸⃗ le champ électrique (V m−1) ; 𝐵⃗ le champ magnétique (T).

2.2. Potentiel électrique

Point clé 8 – Potentiel électrique ♥︎✍

Hypothèse : En régime stationnaire.

𝐸⃗=−grad⃗𝑉
avec 𝐸⃗ le champ électrique (V m−1) ; 𝑉 le potentiel électrique (V).

Comme grad⃗𝐾=0⃗ pour toute constante 𝐾, le potentiel électrique est défini à une constante additive près : on choisit arbitrairement sa valeur en un point.

Application 1 ✍
Déterminer le potentiel électrique créé par une charge ponctuelle située à l’origine du repère. On choisira 𝑉=0 à l’infini.
Point clé 9 – Circulation de 𝐸⃗ ♥︎✍

Hypothèse : En régime stationnaire.

∫𝐴𝐵𝐸⃗⋅d𝑙⃗=𝑉𝐴−𝑉𝐵
avec 𝐸⃗ le champ électrique (V m−1) ; 𝑉𝐴 le potentiel électrique au point 𝐴 (V) ; 𝑉𝐵 le potentiel électrique au point 𝐵 (V).

2.3. Équation de Poisson

Point clé 10 – Équation de Poisson ♥︎✍

Hypothèse : En régime stationnaire.

Δ𝑉=−𝜌𝜀0
avec Δ le laplacien scalaire ; 𝑉 le potentiel électrique (V) ; 𝜌 la densité volumique de charge (C m−3) ; 𝜀0 =8,85⋅10−12 F m−1 la permittivité diélectrique du vide (F m−1).
Point clé 11 – Équation de Laplace ♥︎✍

Hypothèses :

  • En régime stationnaire.
  • Dans une zone vide de charges.
Δ𝑉=0
avec Δ le laplacien scalaire ; 𝑉 le potentiel électrique (V).

2.4. Topographie des cartes de champ

2.4.1. Tubes de champ en l’absence de sources

Une ligne de champ est une courbe tangente en tout point au champ. Un tube de champ est un ensemble de lignes de champ s’appuyant sur une courbe fermée.

Point clé 12 – Conservation du flux de 𝐸⃗ ♥︎✍

Hypothèse : Dans une zone vide de charges.

Le flux de 𝐸⃗ est le même à travers chaque section d’un même tube de champ.

avec 𝐸⃗ le champ électrique (V m−1).

Un rétrécissement d’un tube de champ s’accompagne donc d’une augmentation de la norme du champ électrique.

2.4.2. Passer d’une carte à l’autre
Point clé 13 – Lien entre cartes de champ et cartes de potentiel ♥︎

Hypothèse : En régime stationnaire.

Application 2 ✍

Tracer des lignes de champ électrique sur les cartes d’équipotentielles suivantes.

Application 3 ✍

Tracer des équipotentielles sur la carte de lignes de champ suivante.

Application 4 ✍

Déterminer la valeur, la direction et le sens du champ électrique aux points 𝑀1 et 𝑀2 à l’aide de la carte des équipotentielles. La carte est à l’échelle 1:1.

2.5. Linéarité

Les équations de Maxwell étant linéaires, on peut appliquer le théorème de superposition.

Point clé 14 – Théorème de superposition ♥︎✍
Si les distributions 𝜌1 et 𝜌2 créent respectivement les champs 𝐸⃗1 et 𝐸⃗2, alors la distribution 𝜌1+𝜌2 crée le champ 𝐸⃗1+𝐸⃗2.

2.6. Lien avec la mécanique

Le champ électrique a été construit de sorte à être lié simplement à la force subie par une particule chargée. L’énergie potentielle d’une particule chargée peut, elle, être déduite simplement du potentiel électrique.

Point clé 15 – Énergie potentielle électrostatique ♥︎✍

Hypothèse : En régime stationnaire.

𝐸𝑝=𝑞𝑉
avec 𝐸𝑝 l’énergie potentielle électrostatique d’une particule chargée (J) ; 𝑞 la charge de la particule (C) ; 𝑉 le potentiel électrique (V).

Cette expression peut être utilisée pour déterminer la vitesse d’une particule chargée après traversée d’une zone de champ.

Application 5 ✍
Les téléviseurs cathodiques couleur utilisaient des tensions de l’ordre de 25⁠ ⁠kV entre deux électrodes pour accélérer les électrons (𝑚=9,11⋅10−31 kg, 𝑞=−1,60⋅10−19 C) initialement immobiles. Calculer leur énergie cinétique puis leur vitesse après avoir traversé la zone séparant les électrodes1.

3. Théorème de Gauss

3.1. Symétries du champ électrique

Les symétries de la distribution de charge contraignent le champ électrique.

Point clé 16 – Principe de Curie ♥︎
Lorsque des causes produisent des effets, les symétries des causes se retrouvent dans leurs effets.
Point clé 17 – Plans de symétrie et champ électrique ♥︎✍
Le champ électrique est inclus dans les plans de symétrie de la distribution de charge.
Application 6 ✍
On considère une boule uniformément chargée. Déterminer la direction du champ électrique en tout point de l’espace.

Si, pour chaque couple de points symétriques par un plan, la distribution de charge y est opposée, le plan est un plan d’antisymétrie.

Point clé 18 – Plans d’antisymétrie et champ électrique ♥︎✍
Le champ électrique est orthogonal aux plans d’antisymétrie de la distribution de charge.
Application 7 ✍
On considère deux armatures planes en regard, de charges opposées. Déterminer la direction du champ électrique dans le plan médiateur des armatures.

3.2. Invariances du champ électrique

Un champ est invariant par une transformation si celle-ci le laisse inchangé. Les invariances de la distribution de charge contraignent le champ électrique.

Point clé 19 – Principe de Curie (invariances) ♥︎
Les invariances des causes se retrouvent dans leurs effets : 𝐸⃗ possède (au moins) les invariances de la distribution de charge.
Application 8 ✍

De quelles variables d’espace dépend le champ électrique dans chacun des cas suivants ?

  1. boule uniformément chargée de densité volumique 𝜌 ;
  2. plan infini uniformément chargé de densité surfacique 𝜎 ;
  3. fil infini infiniment fin uniformément chargé de densité linéique 𝜆.

3.3. Théorème de Gauss

Point clé 20 – Théorème de Gauss ♥︎✍
∯𝑆𝐸⃗⋅d𝑆⃗=𝑄int𝜀0
avec 𝑆 une surface fermée orientée vers l’extérieur ; 𝐸⃗ le champ électrique (V m−1) ; 𝑄int la charge contenue à l’intérieur de 𝑆 (C) ; 𝜀0 =8,85⋅10−12 F m−1 la permittivité diélectrique du vide (F m−1).
Application 9 ✍
Déterminer le champ électrique créé par une particule ponctuelle de charge 𝑞.
Application 10 ✍
Déterminer le champ électrique créé par une boule de rayon 𝑅 uniformément chargée de densité volumique 𝜌. En déduire l’expression du potentiel électrique.
Application 11 ✍
Déterminer le champ électrique créé par un cylindre plein de rayon 𝑅, infiniment long, uniformément chargé de densité volumique 𝜌. En déduire l’expression du potentiel électrique.
Application 12 ✍
Déterminer le champ électrique créé par un plan infini uniformément chargé de densité surfacique 𝜎. En déduire l’expression du potentiel électrique.

3.4. Analogie avec le champ de gravitation

Champ électrique et champ gravitationnel sont analogues.

électrostatiquegravitation
Grandeur portée par une particulecharge 𝑞 (C)masse 𝑚 (kg)
Force𝐹⃗1/2=𝑞1𝑞24𝜋𝜀01(𝑀1𝑀2)2𝑒⃗𝐹⃗1/2=−𝒢︀𝑚1𝑚21(𝑀1𝑀2)2𝑒⃗
Champ𝐸⃗ (V m−1)𝑔⃗ (m s−2)
Constante14𝜋𝜀0−𝒢︀
Point clé 21 – Théorème de Gauss gravitationnel ♥︎✍
∯𝑆𝑔⃗⋅d𝑆⃗=−4𝜋𝒢︀𝑀int
avec 𝑆 une surface fermée orientée vers l’extérieur ; 𝑔⃗ le champ gravitationnel (m s−2) ; 𝑀int la masse contenue à l’intérieur de 𝑆 (kg) ; 𝒢︀ =6,67⋅10−11 m3 kg−1 ⁠s−2 la constante gravitationnelle (m3 kg−1 ⁠s−2).
Application 13 ✍
La Terre a une masse 𝑚𝑇=6,0⋅1024 kg et un rayon 𝑅=6,4⋅103 km. Déterminer le champ gravitationnel qu’elle crée dans tout l’espace, en supposant sa masse volumique uniforme.

4. Condensateur plan

4.1. Champ électrique

Point clé 22 – Champ électrique dans un condensateur plan ✍

Hypothèses :

  • En régime stationnaire, effets de bord négligés.
  • Deux armatures planes en regard, uniformément chargées de charges opposées, séparées par du vide.
𝐸⃗={𝑄𝜀0𝑆𝑎𝑛⃗entre les armatures0⃗ailleurs
avec 𝐸⃗ le champ électrique (V m−1) ; 𝑄 la charge électrique (C) ; 𝜀0 =8,85⋅10−12 F m−1 la permittivité diélectrique du vide (F m−1) ; 𝑛⃗ un vecteur unitaire allant de l’armature positive vers l’armature négative ; 𝑆𝑎 la surface d’une armature (m2).

4.2. Capacité

Point clé 23 – Capacité d’un condensateur plan ♥︎✍

Hypothèses :

  • En régime stationnaire, effets de bord négligés.
  • Deux armatures planes identiques en regard, de charges opposées, séparées par du vide.
𝐶=𝜀0𝑆𝑎𝑒
avec 𝐶 la capacité du condensateur (F) ; 𝑆𝑎 la surface d’une armature (m2) ; 𝜀0 =8,85⋅10−12 F m−1 la permittivité diélectrique du vide (F m−1) ; 𝑒 la distance entre les armatures (m).

4.3. Influence de la permittivité

Lorsque l’espace entre les armatures est occupé par un isolant, il faut prendre en compte sa permittivité.

Point clé 24 – Capacité d’un condensateur plan avec diélectrique ✍

Hypothèses :

  • En régime stationnaire, effets de bord négligés.
  • Deux armatures planes identiques en regard, de charges opposées.
𝐶=𝜀𝑆𝑎𝑒
avec 𝐶 la capacité du condensateur (F) ; 𝑆𝑎 la surface d’une armature (m2) ; 𝜀 =𝜀𝑟𝜀0 la permittivité diélectrique de l’isolant (F m−1) ; 𝜀𝑟 la permittivité diélectrique relative de l’isolant (sans unité) ; 𝜀0 =8,85⋅10−12 F m−1 la permittivité diélectrique du vide (F m−1) ; 𝑒 la distance entre les armatures (m).
Application 14 ✍
Un condensateur céramique de capacité 470 pF comporte un diélectrique de permittivité relative 𝜀𝑟=20 et d’épaisseur 1 µm. Déterminer le diamètre des armatures.

4.4. Aspect énergétique

L’énergie stockée dans un condensateur ne dépend que de la tension à ses bornes.

Point clé 25 – Énergie stockée dans un condensateur ♥︎✍
ℰ︀=12𝐶𝑈2
avec ℰ︀ l’énergie stockée (J) ; 𝐶 la capacité du condensateur (F) ; 𝑈 la tension aux bornes du condensateur (V).

L’énergie stockée dans un condensateur l’est sous forme électrostatique. L’énergie totale stockée dans un condensateur peut être utilisée pour déterminer la forme de l’énergie électrostatique volumique.

Point clé 26 – Densité volumique d’énergie électrostatique ♥︎✍

Hypothèse : Dans le vide.

𝑤=12𝜀0𝐸2
avec 𝑤 la densité volumique d’énergie électrostatique (J m−3) ; 𝜀0 =8,85⋅10−12 F m−1 la permittivité diélectrique du vide (F m−1) ; 𝐸⃗ le champ électrique (V m−1).
Application 15 ✍
Déterminer l’énergie électrostatique totale contenue dans tout l’espace pour une boule de rayon 𝑅 uniformément chargée de densité volumique 𝜌.
  1. 1La valeur trouvée n’est pas négligeable devant la vitesse de la lumière. Pour faire les choses bien, il faudrait traiter ce calcul dans un cadre relativiste, on trouve alors une vitesse 4⁠ ⁠% plus faible.