Condensateur sphérique — Électromagnétisme 1 : Champ électrique en régime stationnaire

Un condensateur sphérique est formé de deux sphères concentriques de rayons

𝑅_{1} < 𝑅_{2}

, séparées par du vide.

1/ Déterminer sa capacité en fonction de

𝑅_{1}

𝑅_{2}

. Montrer que lorsque l’écart

𝑒 = 𝑅_{2} - 𝑅_{1}

entre les armatures est petit devant

𝑅_{1}

, on retrouve la capacité d’un condensateur plan.

Coup de pouce 1

Noter

𝑄

la charge de l’armature intérieure et

- 𝑄

celle de l’armature extérieure.

Coup de pouce 2

Effectuer une analyse des symétries et des invariances.

Coup de pouce 3

Utiliser le théorème de Gauss.

Coup de pouce 4

Exprimer la différence de potentiel entre les armatures.

Coup de pouce 5

Utiliser la relation

𝑄 = 𝐶 𝑈

Corrigé

On note $𝑄$ la charge de l’armature intérieure et $- 𝑄$ celle de l’armature extérieure.

Invariances. La distribution est invariante par toute rotation autour du centre $𝑂$ : $\vec{𝐸}$ ne dépend que de $𝑟$ .

Symétries. Tout plan contenant $𝑂$ et $𝑀$ est plan de symétrie de la distribution : $\vec{𝐸} (𝑀)$ appartient à leur intersection, donc $\vec{𝐸} = 𝐸 (𝑟) {\vec{𝑒}}_{𝑟}$ .

Théorème de Gauss. Pour $𝑅_{1} < 𝑟 < 𝑅_{2}$ , la sphère de centre $𝑂$ et de rayon $𝑟$ contient la charge $𝑄$ . Le théorème de Gauss donne $𝐸 (𝑟) \times 4 𝜋 𝑟^{2} = 𝑄 / 𝜀_{0}$ , d’où

\vec{𝐸} = \frac{𝑄}{4 𝜋 𝜀_{0} 𝑟^{2}} {\vec{𝑒}}_{𝑟}

Différence de potentiel. On fait circuler $\vec{𝐸}$ d’une armature à l’autre :

𝑈 = 𝑉 (𝑅_{1}) - 𝑉 (𝑅_{2}) = \int_{𝑅_{1}}^{𝑅_{2}} \frac{𝑄}{4 𝜋 𝜀_{0} 𝑟^{2}} d 𝑟 = \frac{𝑄}{4 𝜋 𝜀_{0}} (\frac{1}{𝑅_{1}} - \frac{1}{𝑅_{2}}) = \frac{𝑄}{4 𝜋 𝜀_{0}} \frac{𝑅_{2} - 𝑅_{1}}{𝑅_{1} 𝑅_{2}}

Capacité. La relation $𝑄 = 𝐶 𝑈$ donne

𝐶 = \frac{4 𝜋 𝜀_{0} 𝑅_{1} 𝑅_{2}}{𝑅_{2} - 𝑅_{1}}

Limite du condensateur plan. Si $𝑒 = 𝑅_{2} - 𝑅_{1} ≪ 𝑅_{1}$ , alors $𝑅_{2} \approx 𝑅_{1}$ et $𝑅_{1} 𝑅_{2} \approx 𝑅_{1}^{2}$ , d’où

𝐶 \approx \frac{4 𝜋 𝜀_{0} 𝑅_{1}^{2}}{𝑒} = \frac{𝜀_{0} 𝑆_{𝑎}}{𝑒}

avec $𝑆_{𝑎} = 4 𝜋 𝑅_{1}^{2}$ l’aire des armatures en regard. C’est la capacité d’un condensateur plan de surface $𝑆_{𝑎}$ et d’épaisseur $𝑒$ : vues de près, deux sphères très proches ressemblent localement à deux plans parallèles.

Condensateur sphérique ★