Condensateur cylindrique — Électromagnétisme 1 : Champ électrique en régime stationnaire

Un condensateur cylindrique est constitué de deux armatures coaxiales de hauteur

ℎ

. L’armature intérieure, de rayon

𝑅_{1}

, porte la charge

𝑄

; l’armature extérieure, de rayon

𝑅_{2}

, porte la charge

- 𝑄

. L’espace entre les armatures est vide et on néglige les effets de bord.

Corrigé

Cela revient à traiter les armatures comme des cylindres de longueur infinie : le champ est alors purement radial, ne dépend que de

𝑟

et ne présente ni composante selon l’axe ni dépendance en

𝑧

. Cette approximation est valable loin des extrémités, lorsque

ℎ ≫ 𝑅_{2}

Coup de pouce 1

Effectuer les quatre étapes : invariances, symétries, choix de la surface de Gauss, théorème de Gauss.

Corrigé

Invariances (cylindre infini) et symétries donnent $\vec{𝐸} = 𝐸 (𝑟) {\vec{𝑒}}_{𝑟}$ . On prend pour surface de Gauss un cylindre coaxial de rayon $𝑟$ et de hauteur $ℓ$ . Le flux vaut $𝐸 (𝑟) \times 2 𝜋 𝑟 ℓ$ (les bases ne contribuent pas).

Pour $𝑅_{1} < 𝑟 < 𝑅_{2}$ : la charge intérieure est la fraction $ℓ / ℎ$ de l’armature interne, $𝑄_{int} = 𝑄 ℓ / ℎ$ :

\vec{𝐸} = \frac{𝑄}{2 𝜋 𝜀_{0} ℎ 𝑟} {\vec{𝑒}}_{𝑟}

Pour $𝑟 < 𝑅_{1}$ : $𝑄_{int} = 0$ , donc $\vec{𝐸} = \vec{0}$ .

Pour $𝑟 > 𝑅_{2}$ : $𝑄_{int} = 𝑄 - 𝑄 = 0$ , donc $\vec{𝐸} = \vec{0}$ .

3/ Établir l’expression de la différence de potentiel entre les deux armatures.

Coup de pouce 1

Utiliser la circulation de

\vec{𝐸}

d’une armature à l’autre.

Corrigé

𝑉 (𝑅_{1}) - 𝑉 (𝑅_{2}) = \int_{𝑅_{1}}^{𝑅_{2}} \vec{𝐸} \cdot \vec{d 𝑙} = \int_{𝑅_{1}}^{𝑅_{2}} \frac{𝑄}{2 𝜋 𝜀_{0} ℎ 𝑟} d 𝑟 = \frac{𝑄}{2 𝜋 𝜀_{0} ℎ} ln (\frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1}})