Champ et potentiel d'une boule uniformément chargée — Électromagnétisme 1 : Champ électrique en régime stationnaire

Une boule de centre

𝑂

et de rayon

𝑅

est uniformément chargée ; sa charge totale est

𝑄

. On rappelle l’expression du gradient en coordonnées sphériques :

1/ Déterminer le champ électrique puis le potentiel électrique en tout point de l’espace. Le potentiel est pris nul loin de la boule.

Coup de pouce 1

Déterminer d’abord le champ électrique, puis en déduire le potentiel.

Coup de pouce 2

Effectuer les quatre étapes : invariances, symétries, choix de la surface de Gauss, théorème de Gauss.

Coup de pouce 3

Pour la charge intérieure, distinguer

𝑟 < 𝑅

𝑟 > 𝑅

Coup de pouce 4

Déterminer la constante d’intégration pour

𝑟 > 𝑅

(potentiel nul à l’infini), puis celle pour

𝑟 < 𝑅

par continuité de

𝑉

𝑟 = 𝑅

Corrigé

Invariances. La distribution est invariante par toute rotation autour de $𝑂$ : $\vec{𝐸}$ ne dépend que de $𝑟$ .

Symétries. Tout plan contenant $𝑂$ et $𝑀$ est plan de symétrie de la distribution : $\vec{𝐸} (𝑀)$ appartient à leur intersection, donc $\vec{𝐸} = 𝐸 (𝑟) {\vec{𝑒}}_{𝑟}$ .

Surface de Gauss. Sphère $𝑆$ de centre $𝑂$ et de rayon $𝑟$ . Le théorème de Gauss donne

𝐸 (𝑟) \times 4 𝜋 𝑟^{2} = \frac{𝑄_{int}}{𝜀_{0}}

Pour $𝑟 > 𝑅$ : $𝑄_{int} = 𝑄$ , d’où

\vec{𝐸} = \frac{𝑄}{4 𝜋 𝜀_{0} 𝑟^{2}} {\vec{𝑒}}_{𝑟}

Pour $𝑟 < 𝑅$ : $𝑄_{int} = 𝑄 \frac{𝑟^{3}}{𝑅^{3}}$ , d’où

\vec{𝐸} = \frac{𝑄 𝑟}{4 𝜋 𝜀_{0} 𝑅^{3}} {\vec{𝑒}}_{𝑟}

Potentiel. Par symétrie $𝑉 = 𝑉 (𝑟)$ et $\vec{𝐸} = - \vec{grad} 𝑉 = - \frac{d 𝑉}{d 𝑟} {\vec{𝑒}}_{𝑟}$ .

Pour $𝑟 > 𝑅$ : $\frac{d 𝑉}{d 𝑟} = - \frac{𝑄}{4 𝜋 𝜀_{0} 𝑟^{2}}$ donne $𝑉 (𝑟) = \frac{𝑄}{4 𝜋 𝜀_{0} 𝑟} + 𝐾$ . Comme $𝑉 \to 0$ quand $𝑟 \to + \infty$ , $𝐾 = 0$ :

𝑉 (𝑟) = \frac{𝑄}{4 𝜋 𝜀_{0} 𝑟}

Pour $𝑟 < 𝑅$ : $\frac{d 𝑉}{d 𝑟} = - \frac{𝑄 𝑟}{4 𝜋 𝜀_{0} 𝑅^{3}}$ donne $𝑉 (𝑟) = - \frac{𝑄 𝑟^{2}}{8 𝜋 𝜀_{0} 𝑅^{3}} + 𝐾^{'}$ . La continuité de $𝑉$ en $𝑟 = 𝑅$ impose $𝐾^{'} = \frac{3 𝑄}{8 𝜋 𝜀_{0} 𝑅}$ , d’où

𝑉 (𝑟) = \frac{𝑄}{8 𝜋 𝜀_{0} 𝑅^{3}} (3 𝑅^{2} - 𝑟^{2})

Corrigé

$𝐸$ croît linéairement de $0$ à $𝐸 (𝑅) = \frac{𝑄}{4 𝜋 𝜀_{0} 𝑅^{2}}$ , puis décroit en $\frac{1}{𝑟^{2}}$ . $𝑉$ est une parabole décroissante de $𝑉 (0) = \frac{3 𝑄}{8 𝜋 𝜀_{0} 𝑅}$ à $𝑉 (𝑅) = \frac{𝑄}{4 𝜋 𝜀_{0} 𝑅}$ , puis décroit en $\frac{1}{𝑟}$ . $𝐸$ est continu, $𝑉$ est continu et de dérivée continue.

Champ et potentiel d’une boule uniformément chargée