Champ de gravitation d'une planète — Électromagnétisme 1 : Champ électrique en régime stationnaire

La masse volumique d’une planète de rayon

𝑅 = 6400 km

varie avec la distance

𝑟

au centre selon

𝜇 (𝑟) = 𝜇_{0} (1 - 𝑎 {(\frac{𝑟}{𝑅})}^{2})

. La masse volumique moyenne de la planète vaut

𝜇_{moy} = 𝑚_{planète} / 𝑉_{planète} = 5,52

⋅103 kg m−3 et celle des roches superficielles vaut

𝜇 (𝑅) = 2,67

⋅103 kg m−3.

Coup de pouce 1

La masse volumique moyenne et celle des roches superficielles donnent deux équations.

Coup de pouce 2

Exprimer la masse totale comme une intégrale de

𝜇 (𝑟)

sur la boule.

Corrigé

En surface : $𝜇 (𝑅) = 𝜇_{0} (1 - 𝑎)$ .

Masse totale :

𝑚 = \int_{0}^{𝑅} 𝜇 (𝑟) 4 𝜋 𝑟^{2} d 𝑟 = 4 𝜋 𝜇_{0} (\frac{𝑅^{3}}{3} - 𝑎 \frac{𝑅^{3}}{5}) = 4 𝜋 𝜇_{0} 𝑅^{3} (\frac{1}{3} - \frac{𝑎}{5})

d’où

𝜇_{moy} = \frac{𝑚}{(4 / 3) 𝜋 𝑅^{3}} = 𝜇_{0} (1 - 3 \frac{𝑎}{5})

Le rapport des deux relations élimine $𝜇_{0}$ :

\frac{1 - 3 \frac{𝑎}{5}}{1 - 𝑎} = \frac{𝜇_{moy}}{𝜇 (𝑅)} = \frac{5.52}{2.67} \approx 2.07 \Rightarrow 𝑎 \approx 0.73

puis

𝜇_{0} = \frac{𝜇 (𝑅)}{1 - 𝑎} \approx \frac{2.67 \times 10^{3}}{0.27} \approx 9,8

⋅103 kg m−3

2/ Établir l’expression du champ de gravitation créé par la planète dans tout l’espace.

Coup de pouce 1

Effectuer les quatre étapes : invariances, symétries, choix de la surface de Gauss, théorème de Gauss gravitationnel.

Corrigé

Par symétrie sphérique, $\vec{𝑔} = 𝑔 (𝑟) {\vec{𝑒}}_{𝑟}$ . Surface de Gauss : sphère de rayon $𝑟$ . Le théorème de Gauss gravitationnel donne $𝑔 (𝑟) \times 4 𝜋 𝑟^{2} = - 4 𝜋 𝒢︀ 𝑀_{int}$ .

Pour $𝑟 \geq 𝑅$ : $𝑀_{int} = 𝑚 = 𝜇_{moy} (\frac{4}{3}) 𝜋 𝑅^{3}$ , d’où

\vec{𝑔} = - \frac{𝒢︀ 𝑚}{𝑟^{2}} {\vec{𝑒}}_{𝑟} = - \frac{4 𝜋 𝒢︀ 𝜇_{moy} 𝑅^{3}}{3 𝑟^{2}} {\vec{𝑒}}_{𝑟}

Pour $𝑟 \leq 𝑅$ :

𝑀_{int (𝑟)} = \int_{0}^{𝑟} 𝜇_{0} (1 - 𝑎 \frac{𝑠^{2}}{𝑅^{2}}) 4 𝜋 𝑠^{2} d 𝑠 = 4 𝜋 𝜇_{0} (\frac{𝑟^{3}}{3} - \frac{𝑎 𝑟^{5}}{5 𝑅^{2}})

d’où

\vec{𝑔} = - 4 𝜋 𝒢︀ 𝜇_{0} (\frac{𝑟}{3} - \frac{𝑎 𝑟^{3}}{5 𝑅^{2}}) {\vec{𝑒}}_{𝑟}

3/ Pour quel rayon le champ de gravitation est-il maximal à l’intérieur de la planète ? L’exprimer en fonction de

𝑅

Coup de pouce 1

Dériver

𝑔 (𝑟)

par rapport à

𝑟

pour trouver son extrémum.

Corrigé

Pour $𝑟 \leq 𝑅$ , $‖ \vec{𝑔} ‖ = 4 𝜋 𝒢︀ 𝜇_{0} (\frac{𝑟}{3} - \frac{𝑎 𝑟^{3}}{5 𝑅^{2}})$ . Sa dérivée s’annule pour

\frac{1}{3} - \frac{3 𝑎 𝑟^{2}}{5 𝑅^{2}} = 0 \Rightarrow 𝑟_{max} = 𝑅 \sqrt{\frac{5}{9 𝑎}} \approx 0.87 𝑅

(La dérivée seconde est négative : c’est bien un maximum.) Le champ de gravitation est donc plus intense à $8$ ⋅102⁠⁠ $km$ de profondeur qu’en surface.

Champ de gravitation d’une planète ★