Réduction de l'ondulation — Conversion de puissance 4 : Conversion électronique statique

Cet exercice est un problème ouvert. Il nécessite de prendre des initiatives et de faire des choix dans la modélisation. Des approximations et des estimations sont souvent nécessaires pour arriver à une solution.

On commande un moteur à courant continu d’inductance propre

10

⁠

mH

et de résistance négligeable à l’aide d’un hacheur constitué d’une cellule élémentaire de commutation. La tension d’alimentation est

12

⁠

V

. La période de la commande est

1

⁠

ms

Quelle inductance de lissage faut-il ajouter en sortie du hacheur pour que l’ondulation du courant ne dépasse jamais $100$ ⁠⁠ $mA$ ?

Coup de pouce 1

Exprimer l’ondulation du courant en fonction de l’inductance totale, de la période, de la tension d’alimentation et du rapport cyclique.

Coup de pouce 2

Pour quel rapport cyclique l’ondulation est-elle maximale ?

Coup de pouce 3

Quelle est l’inductance équivalente à deux inductances en série ?

Corrigé

On note $𝐸^{'}$ la force contre-électromotrice du moteur et $𝛼$ le rapport cyclique. On considère le transistor fermé entre $0$ et $𝛼 𝑇$ et ouvert entre $𝛼 𝑇$ et $𝑇$ , la loi des mailles donne

𝑢_{𝐿} = {\begin{cases} 𝐸 - 𝐸^{'} si 0 < 𝑡 < 𝛼 𝑇 \\ - 𝐸^{'} si 𝛼 𝑇 < 𝑡 < 𝑇 \end{cases}

soit

𝑖 = {\begin{cases} 𝐴 + \frac{𝐸 - 𝐸^{'}}{𝐿} 𝑡 si 0 < 𝑡 < 𝛼 𝑇 \\ 𝐵 - \frac{𝐸^{'}}{𝐿} 𝑡 si 𝛼 𝑇 < 𝑡 < 𝑇 \end{cases}

En utilisant la pente sur la partie $(0, 𝛼 𝑇)$ on obtient

Δ 𝑖 = \frac{𝐸 - 𝐸^{'}}{𝐿} 𝛼 𝑇

En notant $𝑢$ la tension totale en sortie, la loi des mailles s’écrit également

𝑢 = 𝐿 \frac{d 𝑖}{d 𝑡} + 𝐸^{'} = {\begin{cases} 𝐸 si 0 < 𝑡 < 𝛼 𝑇 \\ 0 si 𝛼 𝑇 < 𝑡 < 𝑇 \end{cases}

soit, en valeur moyenne :

𝛼 𝐸 = 𝐸^{'}

En remplaçant, on obtient alors

Δ 𝑖 = 𝐸 \frac{𝛼 (1 - 𝛼)}{𝐿} 𝑇

Cette ondulation est maximale pour $𝛼 = 0.5$ où elle vaut

Δ 𝑖_{max} = \frac{𝐸}{4 𝐿} 𝑇

L’inductance totale doit donc être égale au moins à

𝐿 = \frac{𝐸}{4 Δ 𝑖} 𝑇

L’inductance à ajouter est donc

𝐿_{ajout} = 𝐸 \frac{𝛼 (1 - 𝛼)}{Δ 𝑖} 𝑇 - 𝐿_{moteur} = 2,0

⋅10−2 H

Remarque : on a utilisé le fait que deux inductances en série s’additionnent. Pour le montrer, on peut écrire la loi des mailles :

𝑢_{𝐿} = 𝑢_{𝐿 1} + 𝑢_{𝐿 2} = 𝐿_{1} \frac{d 𝑖}{d 𝑡} + 𝐿_{2} \frac{d 𝑖}{d 𝑡} = (𝐿_{1} + 𝐿_{2}) \frac{d 𝑖}{d 𝑡}

🤔 Réduction de l’ondulation