Onduleur alimentant une charge inductive — Conversion de puissance 4 : Conversion électronique statique

On s’intéresse à un onduleur alimentant une charge inductive avec

𝑅 = 10 Ω

𝐿 = 100 mH

𝐸 = 100 V

1/ Quels sont les états autorisés pour les interrupteurs

𝐾_{1}

𝐾_{2}

𝐾_{3}

𝐾_{4}

? Lesquels permettent de transférer de l’énergie de la source vers la charge ?

Coup de pouce 1

Lister les états possibles des interrupteurs.

Coup de pouce 2

Utiliser les règles d’interconnexions des sources.

Coup de pouce 3

Pourquoi

𝐾_{1}

𝐾_{4}

ne peuvent pas être fermés simultanément ? Même question pour

𝐾_{2}

𝐾_{3}

Coup de pouce 4

Pourquoi

𝐾_{1}

𝐾_{4}

ne peuvent pas être ouverts simultanément ? Même question pour

𝐾_{2}

𝐾_{3}

Corrigé

Les états des interrupteurs sont listés dans le tableau ci-dessous.

$𝐾_{1}$	$𝐾_{2}$	$𝐾_{3}$	$𝐾_{4}$
~~Ouvert~~	~~Ouvert~~	~~Ouvert~~	~~Ouvert~~
~~Ouvert~~	~~Ouvert~~	~~Ouvert~~	~~Fermé~~
~~Ouvert~~	~~Ouvert~~	~~Fermé~~	~~Ouvert~~
Ouvert	Ouvert	Fermé	Fermé
~~Ouvert~~	~~Fermé~~	~~Ouvert~~	~~Ouvert~~
Ouvert	Fermé	Ouvert	Fermé
~~Ouvert~~	~~Fermé~~	~~Fermé~~	~~Ouvert~~
~~Ouvert~~	~~Fermé~~	~~Fermé~~	~~Fermé~~
~~Fermé~~	~~Ouvert~~	~~Ouvert~~	~~Ouvert~~
~~Fermé~~	~~Ouvert~~	~~Ouvert~~	~~Fermé~~
Fermé	Ouvert	Fermé	Ouvert
~~Fermé~~	~~Ouvert~~	~~Fermé~~	~~Fermé~~
Fermé	Fermé	Ouvert	Ouvert
~~Fermé~~	~~Fermé~~	~~Ouvert~~	~~Fermé~~
~~Fermé~~	~~Fermé~~	~~Fermé~~	~~Ouvert~~
~~Fermé~~	~~Fermé~~	~~Fermé~~	~~Fermé~~

Si $𝐾_{1}$ et $𝐾_{4}$ sont fermés simultanément, la source de tension est court-circuitée. De même si $𝐾_{2}$ et $𝐾_{3}$ sont fermés simultanément. Les états correspondants sont barrés en pointillés.

Si $𝐾_{1}$ et $𝐾_{4}$ sont ouverts simultanément, la source de courant est en circuit ouvert. De même si $𝐾_{2}$ et $𝐾_{3}$ sont ouverts simultanément. Les états correspondants sont barrés en trait plein.

Les états autorisés sont donc

$𝐾_{1}$	$𝐾_{2}$	$𝐾_{3}$	$𝐾_{4}$
Ouvert	Ouvert	Fermé	Fermé
Ouvert	Fermé	Ouvert	Fermé
Fermé	Ouvert	Fermé	Ouvert
Fermé	Fermé	Ouvert	Ouvert

Si $𝐾_{1}$ et $𝐾_{2}$ sont fermés et $𝐾_{3}$ et $𝐾_{4}$ sont ouverts, $𝑖_{𝑒} = 0$ et $𝑢 = 0$ . La puissance reçue et la puissance délivrée sont nulles. Idem si $𝐾_{1}$ et $𝐾_{2}$ sont ouverts et $𝐾_{3}$ et $𝐾_{4}$ sont fermés. Ces deux états ne permettent pas de transférer de la puissance entre l’entrée et la sortie. Ils ne sont donc pas retenus.

Les deux états retenus sont donc

$𝐾_{1}$	$𝐾_{2}$	$𝐾_{3}$	$𝐾_{4}$
Ouvert	Fermé	Ouvert	Fermé
Fermé	Ouvert	Fermé	Ouvert

2/ On se place entre

𝑡_{1}

𝑡_{2}

, avec

𝐾_{1}

𝐾_{3}

fermés et

𝐾_{2}

𝐾_{4}

ouverts. Quelle est l’équation différentielle vérifiée par le courant

𝑖 (𝑡)

dans la charge ? Quelle est sa solution ? On l’exprimera en fonction de

𝑖 (𝑡_{1})

Coup de pouce 1

Écrire la loi des mailles.

Coup de pouce 2

Il peut être pratique de reproduire le schéma avec les interrupteurs dans l’état considéré.

Corrigé

La loi des mailles s’écrit $𝐸 = 𝑅 𝑖 + 𝐿 \frac{d 𝑖}{d 𝑡}$ , soit

\frac{d 𝑖}{d 𝑡} + \frac{𝑅}{𝐿} 𝑖 = \frac{𝐸}{𝐿}

Ses solutions sont de la forme $𝑖 (𝑡) = 𝐴 𝑒^{- \frac{𝑅}{𝐿} 𝑡} + \frac{𝐸}{𝑅}$ . Or $𝑖 (𝑡_{1}) = 𝐴 𝑒^{- \frac{𝑅}{𝐿} 𝑡_{1}} + \frac{𝐸}{𝑅}$ d’où

𝑖 (𝑡) = (𝑖 (𝑡_{1}) - \frac{𝐸}{𝑅}) 𝑒^{- \frac{𝑅}{𝐿} (𝑡 - 𝑡_{1})} + \frac{𝐸}{𝑅}

3/ On se place entre

𝑡_{2}

𝑡_{3}

, avec

𝐾_{1}

𝐾_{3}

ouverts et

𝐾_{2}

𝐾_{4}

fermés. Quelle est l’équation différentielle vérifiée par le courant

𝑖 (𝑡)

dans la charge ? Quelle est sa solution ? On l’exprimera en fonction de

𝑖 (𝑡_{2})

Corrigé

La loi des mailles s’écrit $- 𝐸 = 𝑅 𝑖 + 𝐿 \frac{d 𝑖}{d 𝑡}$ , soit

\frac{d 𝑖}{d 𝑡} + \frac{𝑅}{𝐿} 𝑖 = \frac{𝐸}{𝐿}

Ses solutions sont de la forme $𝑖 (𝑡) = 𝐵 𝑒^{- \frac{𝑅}{𝐿} 𝑡} - \frac{𝐸}{𝑅}$ . Or $𝑖 (𝑡_{2}) = 𝐵 𝑒^{- \frac{𝑅}{𝐿} 𝑡_{2}} - \frac{𝐸}{𝑅}$ d’où

𝑖 (𝑡) = (𝑖 (𝑡_{2}) + \frac{𝐸}{𝑅}) 𝑒^{- \frac{𝑅}{𝐿} (𝑡 - 𝑡_{2})} - \frac{𝐸}{𝑅}

Les interrupteurs

𝐾_{1}

𝐾_{3}

sont fermés entre

𝑡 = 𝑛 𝑇_{MLI}

𝑡 = 𝑛 𝑇_{MLI} + 𝛼 (𝑡) 𝑇_{MLI}

, tandis que les interrupteurs

𝐾_{2}

𝐾_{4}

sont fermés entre

𝑡 = 𝑛 𝑇_{MLI} + 𝛼 (𝑡) 𝑇_{MLI}

𝑡 = (𝑛 + 1) 𝑇_{MLI}

, avec

Coup de pouce 1

Quel est le rôle d’un onduleur ?

Corrigé

Le rôle d’un onduleur est de fournir un courant alternatif en sortie. Le rapport cyclique est variable entre $0$ et $1$ de façon sinusoïdale pour obtenir un courant de sortie sinusoïdal.

La période $𝑇_{MLI}$ est petite devant la période $𝑇$ du signal de sortie pour que le courant de sortie soit le plus proche possible d’un signal sinusoïdal.

5/ On souhaite réaliser une simulation numérique du courant de sortie

𝑖 (𝑡)

sur une période

𝑇

. Compléter le code suivant.

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
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15
16

import numpy as np
R = ...
L = ...
E = ... # tension de la source de tension
T = ... # période du signal
T_MLI = ... # période de la MLI
dt = T_MLI/500 # pas de temps de la simulation (500 points par période de MLI)
temps = ... # array de tous les temps
alpha = ( 1 + np.cos(2*np.pi*temps/T) ) / 2 # rapport cyclique
i_s = ... # initialisation du courant de sortie par un array de zéros
for i in range(1, int(T/dt)-int(T_MLI/dt), int(T_MLI/dt)):
    i1 = i
    i2 = i+int(alpha[i]*T_MLI/dt)
    i3 = i+int(T_MLI/dt)
    i_s[i1:i2] = ... # première partie de "période"
    i_s[i2:i3] = ... # seconde partie de "période"

Corrigé

import numpy as np
R = 10
L = 100e-3
E = 100 # tension de la source de tension
T = 1 # période du signal
T_MLI = 10e-3 # période de la MLI
dt = T_MLI/500 # pas de temps de la simulation (500 points par période de MLI)
temps = np.arange(0, T, dt) # array de tous les temps
alpha = ( 1 + np.cos(2*np.pi*temps/T) ) / 2 # rapport cyclique
i_s = np.zeros(len(temps)) # initialisation du courant de sortie par un array de zéros
for i in range(1, int(T/dt)-int(T_MLI/dt), int(T_MLI/dt)):
    i1 = i
    i2 = i+int(alpha[i]*T_MLI/dt)
    i3 = i+int(T_MLI/dt)
    i_s[i1:i2] = (i_s[i1-1] - E/R) * np.exp(-R/L * (temps[i1:i2] - temps[i1])) + E/R # première partie de "période"
    i_s[i2:i3] = (i_s[i2-1] + E/R) * np.exp(-R/L * (temps[i2:i3] - temps[i2])) - E/R # seconde partie de "période"

Coup de pouce 1

Que représentent i1, i2 et i3 ?

Corrigé

i désigne le début de la période de la MLI. Ces débuts sont séparés de int(T_MLI/dt).

i1 est le début de la période de la MLI. C’est l’indice du moment auquel $𝐾_{1}$ et $𝐾_{3}$ se ferment et $𝐾_{2}$ et $𝐾_{4}$ s’ouvrent.
i2 est la fin de la première partie de la période de la MLI, c’est-à-dire le moment où les interrupteurs $𝐾_{1}$ et $𝐾_{3}$ s’ouvrent et $𝐾_{2}$ et $𝐾_{4}$ se ferment. Il dépend du rapport cyclique alpha[i].
i3 est la fin de la période de la MLI, c’est-à-dire le moment où les interrupteurs $𝐾_{2}$ et $𝐾_{4}$ s’ouvrent et $𝐾_{1}$ et $𝐾_{3}$ se ferment.

Corrigé

import matplotlib.pyplot as plt
plt.clf()
plt.title("Courant en sortie d'un onduleur avec MLI")
plt.plot(temps, i_s, label = "$i_s(t)$ (A)")
plt.legend()
plt.xlabel("Temps (s)")
plt.ylabel("Courant (A)")
plt.show()

8/ Est-il possible de choisir des diodes ou des transistors pour les interrupteurs

𝐾_{1}

𝐾_{2}

𝐾_{3}

𝐾_{4}

🖥️ Onduleur alimentant une charge inductive ★