Hacheur en pont

La source d’entrée présente une tension 𝐸>0 constante, celle de sortie est parcourue par un courant d’intensité 𝐼>0 constant. 𝑖𝑒, 𝑢, 𝑖1, 𝑖2, 𝑖3 et 𝑖4 dépendent du temps.

1/ Dresser la liste de tous les états pour les interrupteurs. Préciser les états autorisés. Dans la suite, on ne s’intéresse qu’aux états qui permettent un transfert de puissance entre l’entrée et la sortie. Quels sont-ils ?

Coup de pouce 1
Pour dresser la liste des états sans en oublier, on peut s’inspirer du comptage en binaire.
Coup de pouce 2
La source de tension ne doit pas être court-circuitée. La source de courant ne doit pas être en circuit ouvert.
Coup de pouce 3
Pour que de la puissance soit transférée entre l’entrée et la sortie, il faut que les deux sources soient dans la même maille.
Corrigé

Les états des interrupteurs sont listés dans le tableau ci-dessous.

𝐾1𝐾2𝐾3𝐾4
OuvertOuvertOuvertOuvert
OuvertOuvertOuvertFermé
OuvertOuvertFerméOuvert
OuvertOuvertFerméFermé
OuvertFerméOuvertOuvert
OuvertFerméOuvertFermé
OuvertFerméFerméOuvert
OuvertFerméFerméFermé
FerméOuvertOuvertOuvert
FerméOuvertOuvertFermé
FerméOuvertFerméOuvert
FerméOuvertFerméFermé
FerméFerméOuvertOuvert
FerméFerméOuvertFermé
FerméFerméFerméOuvert
FerméFerméFerméFermé

Si 𝐾1 et 𝐾4 sont fermés simultanément, la source de tension est court-circuitée. De même si 𝐾2 et 𝐾3 sont fermés simultanément. Les états correspondants sont barrés en pointillés.

Si 𝐾1 et 𝐾4 sont ouverts simultanément, la source de courant est en circuit ouvert. De même si 𝐾2 et 𝐾3 sont ouverts simultanément. Les états correspondants sont barrés en trait plein.

Les états autorisés sont donc

𝐾1𝐾2𝐾3𝐾4
OuvertOuvertFerméFermé
OuvertFerméOuvertFermé
FerméOuvertFerméOuvert
FerméFerméOuvertOuvert

Si 𝐾1 et 𝐾2 sont fermés et 𝐾3 et 𝐾4 sont ouverts, 𝑖𝑒=0 et 𝑢=0. La puissance reçue et la puissance délivrée sont nulles. Idem si 𝐾1 et 𝐾2 sont ouverts et 𝐾3 et 𝐾4 sont fermés. Ces deux états ne permettent pas de transférer de la puissance entre l’entrée et la sortie. Ils ne sont donc pas retenus.

Les deux états retenus sont donc

𝐾1𝐾2𝐾3𝐾4
OuvertFerméOuvertFermé
FerméOuvertFerméOuvert

2/ En étudiant les contraintes qui pèsent sur les interrupteurs, préciser quels interrupteurs choisir.

Coup de pouce 1
Tracer les caractéristiques des 4 interrupteurs et placer dessus les deux points de fonctionnement correspondant aux deux états retenus.
Coup de pouce 2
Pour chacun des deux états retenus, indiquer le signe de la tension et du courant pour chaque interrupteur. On veillera à placer les tensions en convention récepteur.
Corrigé

Dans le premier état retenu :

𝑢1=𝐸>0 et 𝑖1=0𝑢2=0 et 𝑖2=𝐼>0𝑢3=𝐸>0 et 𝑖3=0𝑢4=0 et 𝑖4=𝐼>0.

Dans le second état retenu :

𝑢1=0 et 𝑖1=𝐼>0𝑢2=−𝐸<0 et 𝑖2=0𝑢3=0 et 𝑖3=𝐼>0𝑢4=−𝐸<0 et 𝑖4=0.

On représente les points de fonctionnement sur les caractéristiques des interrupteurs.

On reconnait la caractéristique d’un transistor pour 𝐾1 et 𝐾3 et d’une diode en convention directe pour 𝐾2 et 𝐾4.

3/ Le hacheur fonctionne de manière périodique. Les interrupteurs commandés sont fermés sur [0,𝛼𝑇[ et ouverts sur [𝛼𝑇,𝑇[. Comment nomme-t-on 𝛼 ?

Corrigé
𝛼 est le rapport cyclique.

4/ Tracer les formes d’onde de l’intensité 𝑖𝑒 du courant en entrée et de la tension 𝑢 en sortie. En déduire les valeurs moyennes 𝐼𝑒 et 𝑈 de 𝑖𝑒 et 𝑢. Quelle est la particularité de ce hacheur ?

Coup de pouce 1
Quels sont les ensembles de valeurs que peuvent prendre 𝑈 et 𝐼𝑒 ?
Corrigé

Les interrupteurs commandés sont les transistors 𝐾1 et 𝐾3.

Entre 0 et 𝛼𝑇
𝑖𝑒=𝐼 et 𝑢=𝐸.
Entre 𝛼𝑇 et 𝑇
𝑖𝑒=−𝐼 et 𝑢=−𝐸.

On obtient les chronogrammes suivants.

𝑈=⟨𝑢⟩=𝒜︀𝑇=𝐸𝛼𝑇−𝐸(1−𝛼)𝑇𝑇=(2𝛼−1)𝐸𝐼𝑒=⟨𝑖𝑒⟩=𝒜︀𝑇=𝐼𝛼𝑇−𝐼(1−𝛼)𝑇𝑇=(2𝛼−1)𝐼

La particularité de ce hacheur est que la tension et le courant moyens peuvent être positifs ou négatifs selon la valeur de 𝛼.

5/ Exprimer les puissances délivrées par la source d’entrée et absorbée par celle de sortie. En déduire le rendement du hacheur.

Corrigé

La puissance délivrée par la source d’entrée est

𝑃𝑒=⟨𝐸𝑖𝑒⟩=𝐸⟨𝑖𝑒⟩=𝐸(2𝛼−1)𝐼

La puissance absorbée par la source de sortie est

𝑃𝑠=⟨𝑢𝐼⟩=⟨𝑢⟩𝐼=(2𝛼−1)𝐸𝐼

Le rendement du hacheur est donc

𝜂=𝑃𝑠𝑃𝑒=1