Hachage sur charge inductive — Conversion de puissance 4 : Conversion électronique statique

Le hacheur ci-dessus sert à transférer de la puissance électrique depuis un générateur de tension

𝐸

continu vers un récepteur inductif de résistance

𝑟

et d’inductance

𝐿

Le fonctionnement est périodique de fréquence

𝑓 = 2,0 kHz

. L’interrupteur commandé est fermé sur

[0, 𝛼 𝑇 [

, ouvert sur

[𝛼 𝑇, 𝑇 [

, avec

𝛼 = 0.3

. On précise

𝐸 = 100 V

𝑟 = 10 Ω

1/ Dans quel état est la diode sur

[0, 𝛼 𝑇 [

? sur

[𝛼 𝑇, 𝑇 [

Coup de pouce 1

Lorsque le transistor est passant, quel doit être l’état de la diode ? Lorsque le transistor est bloqué, quel doit être l’état de la diode ?

Corrigé

L’interrupteur commandé est le transistor.

La diode et le transistor ne peuvent pas être passants simultanément car la source de tension $𝐸$ serait court-circuitée.

La diode et le transistor ne peuvent pas être bloqués simultanément car le courant dans l’inductance $𝐿$ ne pourrait pas se maintenir, or le courant ne peut pas s’annuler brutalement dans une inductance. On peut aussi le justifier en disant que le dipôle r-L est un dipôle de type source de courant qui ne peut donc pas être en circuit ouvert.

Sur $[0, 𝛼 𝑇 [$: le transistor est passant, donc la diode est bloquée.
Sur $[𝛼 𝑇, 𝑇 [$: le transistor est bloqué, donc la diode est passante.

2/ Établir les équations différentielles qui régissent l’évolution du courant

𝑖_{𝑠}

, sur

[0, 𝛼 𝑇 [

[𝛼 𝑇, 𝑇 [

Coup de pouce 1

Dans chacun des cas, redessiner le schéma avec les interrupteurs dans le bon état.

Coup de pouce 2

Appliquer la loi des mailles dans chacun des cas.

Corrigé

Sur $[0, 𝛼 𝑇 [$

Sur $[𝛼 𝑇, 𝑇 [$

Sur $[0, 𝛼 𝑇 [$: la maille donne $𝐸 - 𝑟 𝑖_{𝑠} - 𝐿 \frac{d 𝑖_{𝑠}}{d 𝑡} = 0$ , soit

\frac{d 𝑖_{𝑠}}{d 𝑡} + \frac{𝑟}{𝐿} 𝑖_{𝑠} = \frac{𝐸}{𝐿}

Sur $[𝛼 𝑇, 𝑇 [$: la maille donne $𝑟 𝑖_{𝑠} + 𝐿 \frac{d 𝑖_{𝑠}}{d 𝑡} = 0$ , soit

\frac{d 𝑖_{𝑠}}{d 𝑡} + \frac{𝑟}{𝐿} 𝑖_{𝑠} = 0

3/ Résoudre les équations différentielles sur

𝑖_{𝑠}

, sans chercher à exprimer les constantes. À quelle condition sur les valeurs de

𝑟

𝐿

, et

𝑇

, l’évolution du courant dans la charge est-elle affine par morceaux ?

Coup de pouce 1

À quelle condition le développement limité de l’exponentielle donne-t-il une fonction affine ?

Corrigé

Sur $[0, 𝛼 𝑇 [$: $𝑖_{𝑠 (𝑡)} = 𝐴 𝑒^{- \frac{𝑟}{𝐿} 𝑡} + \frac{𝐸}{𝑟}$ .
Sur $[𝛼 𝑇, 𝑇 [$: $𝑖_{𝑠 (𝑡)} = 𝐵 𝑒^{- \frac{𝑟}{𝐿} 𝑡}$ .

Si $\frac{𝑟}{𝐿} 𝑇 ≪ 1$ , $𝑒^{- \frac{𝑟}{𝐿} 𝑡} \approx 1 - \frac{𝑟}{𝐿} 𝑡$ et les fonctions sont affines par morceaux.

4/ Établir l’expression de la valeur moyenne de l’intensité du courant dans la charge en fonction de

𝛼

𝐸

𝑟

. Effectuer l’application numérique.

Coup de pouce 1

Relier les valeurs moyenne de

𝑢_{𝑠}

𝑢_{𝐿}

𝑢_{𝑟}

Coup de pouce 2

Exprimer la valeur moyenne de

𝑢_{𝑠}

en fonction de

𝛼

𝐸

. On pourra tracer un chronogramme de

𝑢_{𝑠}

Coup de pouce 3

Que vaut la valeur moyenne de

𝑢_{𝐿}

Corrigé

La loi des mailles donne $𝑢_{𝑠} = 𝑢_{𝑟} + 𝑢_{𝐿}$ , soit en valeur moyenne $𝛼 𝐸 = 𝑟 ⟨ 𝑖_{𝑠} ⟩ + 0$ d’où

⟨ 𝑖_{𝑠} ⟩ = \frac{𝛼 𝐸}{𝑟} = 3,0 A