Hachage à stockage inductif — Conversion de puissance 4 : Conversion électronique statique

Dans le convertisseur ci-dessus, l’entrée est la source de tension

𝑈

et la sortie est celle de tension

𝑈^{'}

𝑈

𝑈^{'}

sont des constantes positives, alors que

𝑖

𝑖^{'}

𝑖_{𝐿}

𝑢_{𝐿}

dépendent du temps ; toutefois l’intensité

𝑖_{𝐿}

dans la bobine est toujours positive.

1/ Montrer que la commande des deux interrupteurs doit être complémentaire (ni ouverts ni fermés tous les deux en même temps).

Coup de pouce 1

La bobine est-elle un dipôle de type source de tension ou source de courant ?

Corrigé

Si les deux interrupteurs sont fermés simultanément, les sources de tension sont en parallèle, chacune essayant d’imposer sa tension. Ce n’est pas un état possible.

Si les deux interrupteurs sont ouverts simultanément, la bobine se retrouve en circuit ouvert. Or le courant dans une bobine ne peut pas être discontinu. On peut aussi justifier en disant que, la bobine étant un dipôle de type source de courant, elle ne peut pas être en circuit ouvert.

Les deux seuls états possibles sont donc : $𝐾_{1}$ fermé et $𝐾_{2}$ ouvert, ou $𝐾_{1}$ ouvert et $𝐾_{2}$ fermé. Les interrupteurs sont donc complémentaires.

2/ Identifier les interrupteurs à utiliser en traçant leur caractéristique courant-tension.

Coup de pouce 1

Lorsque

𝐾_{1}

est ouvert, quel est le signe de

𝑢_{1}

. Quand il est fermé, quel est le signe de

𝑖_{1}

. Même question pour

𝐾_{2}

Corrigé

On appelle $𝑢_{1}$ et $𝑢_{2}$ les tensions aux bornes de $𝐾_{1}$ et $𝐾_{2}$ respectivement, en convention récepteur.

Lorsque $𝐾_{1}$ est fermé et $𝐾_{2}$ est ouvert: $𝑢_{1} = 0$ ; $𝑖 = 𝑖_{𝐿} > 0$ ; $𝑢_{2} = - 𝑈 - 𝑈^{'} < 0$ et $𝑖_{2} = 0$ .
Lorsque $𝐾_{1}$ est ouvert et $𝐾_{2}$ est fermé: $𝑢_{1} = 𝑈 + 𝑈^{'} > 0$ ; $𝑖 = 0$ ; $𝑢_{2} = 0$ et $𝑖_{2} = 𝑖_{𝐿} > 0$ .

On place ces points sur les caractéristiques des interrupteurs :

On reconnait la caractéristique d’un transistor pour $𝐾_{1}$ et d’une diode en convention directe pour $𝐾_{2}$ .

Dans toute la suite, l’interrupteur commandé est fermé sur

[0, 𝛼 𝑇]

et ouvert sur

[𝛼 𝑇, 𝑇]

3/ Tracer la forme d’onde de la tension aux bornes de la bobine. En déduire une relation entre

𝑈

𝑈^{'}

𝛼

Coup de pouce 1

Écrire la tension aux bornes de la bobine comme une dérivée. Que vaut la moyenne d’une dérivée ?

Coup de pouce 2

Exprimer la valeur moyenne de

𝑢_{𝐿}

en fonction de

𝛼

𝑈

𝑈^{'}

Corrigé

Entre $0$ et $𝛼 𝑇$: $𝑢_{𝐿} = 𝑈$ (car $𝐾_{1}$ fermé, $𝐾_{2}$ ouvert)
Entre $𝛼 𝑇$ et $𝑇$: $𝑢_{𝐿} = - 𝑈^{'}$ (car $𝐾_{1}$ ouvert, $𝐾_{2}$ fermé)

Le chronogramme de $𝑢_{𝐿}$ est donc :

La tension moyenne aux bornes de la bobine est nulle donc

\frac{𝛼 𝑇 𝑈 - (𝑇 - 𝛼 𝑇) 𝑈^{'}}{𝑇} = 𝛼 𝑈 - (1 - 𝛼) 𝑈^{'} = 0

4/ Tracer les formes d’ondes des courants dans la bobine

𝑖_{𝐿}

et dans les sources d’entrée

𝑖

et de sortie

𝑖^{'}

. On ne cherchera pas à identifier les constantes.

Coup de pouce 1

Déterminer l’équation différentielle vérifiée par

𝑖_{𝐿}

entre

0

𝛼 𝑇

et entre

𝛼 𝑇

𝑇

Coup de pouce 2

Résoudre cette équation différentielle sans cherche à exprimer la constante.

Coup de pouce 3

Relier

𝑖

𝑖^{'}

𝑖_{𝐿}

entre

0

𝛼 𝑇

et entre

𝛼 𝑇

𝑇

Corrigé

Entre $0$ et $𝛼 𝑇$: $𝑢_{𝐿} = 𝐿 \frac{d 𝑖_{𝐿}}{d 𝑡} = 𝑈$ donc $𝑖_{𝐿} = \frac{𝑈}{𝐿} 𝑡 + cte$ ; $𝑖 = 𝑖_{𝐿}$ et $𝑖^{'} = 0$ .
Entre $𝛼 𝑇$ et $𝑇$: $𝑢_{𝐿} = 𝐿 \frac{d 𝑖_{𝐿}}{d 𝑡} = - 𝑈^{'}$ donc $𝑖_{𝐿} = - \frac{𝑈^{'}}{𝐿} 𝑡 + cte'$ ; $𝑖 = 0$ et $𝑖^{'} = 𝑖_{𝐿}$ .

Le chronogramme de $𝑖_{𝐿}$ , $𝑖$ et $𝑖^{'}$ est donc :

5/ Exprimer les valeurs moyennes

𝐼

𝐼^{'}

des courants

𝑖 (𝑡)

𝑖^{'} (𝑡)

en fonction de la valeur moyenne

𝐼_{𝐿}

du courant

𝑖_{𝐿 (𝑡)}

dans la bobine.

Coup de pouce 1

Raisonner géométriquement sur les aires dans le chronogramme.

Corrigé

\begin{aligned} 𝐼_{𝐿} & = ⟨ 𝑖_{𝐿} ⟩ & = \frac{𝒜︀}{𝑇} & = \frac{(𝐼_{max} + 𝐼_{min}) 𝑇}{2 𝑇} = \frac{𝐼_{max} + 𝐼_{min}}{2} \\ 𝐼 & = ⟨ 𝑖 ⟩ & = \frac{𝒜︀}{𝑇} & = \frac{(𝐼_{max} + 𝐼_{min}) 𝛼 𝑇}{2 𝑇} = 𝛼 𝐼_{𝐿} \\ 𝐼^{'} & = ⟨ 𝑖^{'} ⟩ & = \frac{𝒜︀}{𝑇} & = \frac{(𝐼_{max} + 𝐼_{min}) (𝑇 - 𝛼 𝑇)}{2 𝑇} = (1 - 𝛼) 𝐼_{𝐿} \end{aligned}

6/ En déduire l’expression du rapport

\frac{𝐼^{'}}{𝐼}

en fonction de

𝛼

. Que dire du cas

𝛼 = 1

Corrigé

\frac{𝐼^{'}}{𝐼} = \frac{1 - 𝛼}{𝛼}

Pour $𝛼 = 1$ , on a

𝐼^{'} = 0

7/ Dresser un bilan de puissance en exprimant la puissance moyenne cédée par la source de tension

𝑈

, la puissance moyenne consommée par celle de tension

𝑈^{'}

et le rendement.

Corrigé

𝑃 = ⟨ 𝑈 𝑖 (𝑡) ⟩ = 𝑈 ⟨ 𝑖 (𝑡) ⟩ = 𝑈 𝐼

𝑃^{'} = ⟨ 𝑈^{'} 𝑖^{'} (𝑡) ⟩ = 𝑈^{'} ⟨ 𝑖^{'} (𝑡) ⟩ = 𝑈^{'} 𝐼^{'}

or $𝑈 = \frac{1 - 𝛼}{𝛼} 𝑈^{'}$ et $𝐼^{'} = \frac{1 - 𝛼}{𝛼} 𝐼$ donc

𝜂 = \frac{𝑃^{'}}{𝑃} = 1

C’est logique car on n’utilise que des dipôles ne consommant pas de puissance en moyenne (interrupteurs idéaux et bobine).