Rendement d'une génératrice à courant continu — Conversion de puissance 3 : Conversion électro-magnéto-mécanique

Une génératrice à courant continu de constante de couplage

𝜑_{0} = 0,12 Wb

, de résistance interne

𝑟 = 0,45 Ω

, d’inductance propre

𝐿 = 20 mH

et dont les valeurs nominales de tension et courant sont

𝑈_{𝑛} = 40 V

𝐼_{𝑛} = 6 A

, est utilisée pour alimenter une charge électrique symbolisée par une résistance

𝑅_{𝑐} = 3 Ω

La machine est entrainée par une turbine qui exerce sur son rotor un couple de moment

Γ_{𝑡} = 0,5 N ⁠m

. La MCC tourne à la vitesse de rotation

Ω > 0

1/ Représenter le schéma électrique de l’induit alimentant la charge électrique (on placera la machine à courant continu en convention générateur). Préciser l’expression du couple électromagnétique qui s’exerce sur la machine en fonction de

Φ_{0}

𝑖

Coup de pouce 1

Le couple dont on demande l’expression est le couple qui s’exerce sur la machine.

Corrigé

La vitesse angulaire étant constante, la somme des couples s’exerçant sur le rotor est nulle donc $Γ_{t} = Φ_{0} 𝑖$ .

2/ Calculer les valeurs de l’intensité du courant dans la charge et la vitesse de rotation de la machine.

Coup de pouce 1

Écrire une équation électrique et une équation mécanique et utiliser les relations entre grandeurs mécaniques et électriques pour une machine à courant continu.

Coup de pouce 2

Pour l’équation électrique, écrire la loi des mailles dans le circuit électrique équivalent de l’induit.

Coup de pouce 3

Pour l’équation mécanique, écrire le théorème du moment cinétique au rotor.

Corrigé

𝑖 = \frac{Γ_{t}}{Φ_{0}} = 4,2 A

L’équation électrique issue de la loi des mailles dans le circuit de l’induit s’écrit $𝑢 = 𝑒 - 𝑟 𝑖 - 𝐿 \frac{d 𝑖}{d 𝑡}$ soit $𝑅_{𝑐} 𝑖 = 𝑒 - 𝑟 𝑖$ .

Or $𝑒 = Φ_{0} Ω$ d’où

(𝑅_{𝑐} + 𝑟) 𝑖 = (𝑅_{𝑐} + 𝑟) \frac{Γ_{t}}{Φ_{0}} = Φ_{0} Ω

Finalement,

Ω = \frac{(𝑅_{𝑐} + 𝑟) Γ_{t}}{Φ_{0}^{2}} = 1,2

⋅102 rad s−1

3/ Définir puis calculer le rendement de conversion de la machine? La machine fonctionne-t-elle dans les conditions nominales ?

Coup de pouce 1

Calculer la tension aux bornes du moteur. Est-elle égale à la tension nominale ?

Corrigé

Le rendement s’écrit

𝜂 = \frac{𝑢 𝑖}{Γ_{t} Ω} = \frac{𝑢 𝑖}{Φ_{0} 𝑖 \frac{𝑒}{Φ_{0}}} = \frac{𝑢}{𝑒} = \frac{𝑅_{𝑐}}{𝑟 + 𝑅_{𝑐}} = 8,7

⋅10−1

La tension $𝑢$ s’écrit

𝑢 = 𝑅_{𝑐} 𝑖 = 1,3

⋅101 V<40 V=𝑈𝑛

La machine ne fonctionne pas dans les conditions nominales.

Rendement d’une génératrice à courant continu