Étude d’un moteur synchrone ★

Afin de simplifier l’étude, les pertes mécaniques ainsi que les pertes fer du moteur seront négligées. Le moteur est une machine synchrone diphasée dont les deux enroulements statoriques sont identiques.

Toutes les valeurs de tension et courant données le sont en valeur efficace.

L’inducteur du moteur synchrone est à aimants permanents et possède 8 pôles, soir 4 paires de pôles. En régime permanent de vitesse, la condition de synchronisme pour un moteur possédant $𝑝$ paires de pôles s’écrit $𝑤=𝑝\mathrm{\Omega }$, où $\mathrm{\Omega }$ désigne la vitesse de rotation du rotor en $\text{rad}\hspace{0.17em}{\text{s}}^{-1}$.

Chaque bobinage du stator possède une résistance $𝑅=0\text{,03}\hspace{0.17em}\text{Ω}$. L’intensité nominale du courant dans un enroulement du stator est ${𝐼}_{𝑁}=155\hspace{0.17em}\text{A}$. Pendant une durée limitée, elle peut atteindre la valeur maximale ${𝐼}_{𝑀}=185\hspace{0.17em}\text{A}$. La machine est étudiée en convention récepteur. Le modèle équivalent à une phase de l’induit est représenté ci-contre. Les tensions et courants sont sinusoïdaux de pulsation $𝜔=2𝜋𝑓$ constante.

Afin de déterminer les paramètres du modèle, divers essais sont effectuées :

essai n°1

sur un banc d’essai, on entraine la machine synchrone à vide par l’intermédiaire d’un moteur auxiliaire à la vitesse $𝑛=1500\hspace{0.17em}\text{tr}\hspace{0.17em}{\text{min}}^{-1}$. Aux bornes d’une phase, on a mesuré une tension de $57$⁠$\hspace{0.17em}$⁠$\text{V}$.

essai n°2

avec une alimentation électrique appropriée, on effectue un essai de la machine en moteur à $1500$⁠$\hspace{0.17em}$⁠$\text{tr}\hspace{0.17em}{\text{min}}^{-1}$, pour lequel l’angle de pilotage vaut $\mathrm{\Psi }=0$, $𝐼={𝐼}_{𝑀}$ et $𝑉=72\hspace{0.17em}\text{V}$.

1/ Déterminer la fréquence des tension statoriques quand $𝑛=1500\hspace{0.17em}\text{tr}\hspace{0.17em}{\text{min}}^{-1}$.

2/ Représenter le diagramme vectoriel relatif à l’essai n°2. La résistance $𝑅$ n’étant pas négligée, en déduire la valeur numérique de $𝐿$.

3/ La valeur efficace de la force contre-électromotrice $𝐸$ a pour expression $𝐸={\mathrm{\Phi }}_0𝜔$. Quelle est l’unité de la constante ${\mathrm{\Phi }}_0$ dans le système SI ? Que représente-t-elle ? De quels paramètres de la machine dépend-elle ? Montrer que $𝐸=𝐴\mathrm{\Omega }$, où $𝐴$ est une constante dont on précisera l’expression et la valeur numérique.

4/ Dans toute la suite, on négligera la chute de tension ohmique ainsi que les pertes par effet Joule dans les circuits statoriques. Tracer un diagramme vectoriel représentatif d’un point de fonctionnement quelconque dans le cas où $0<\mathrm{\Psi }<\frac{𝜋}{2}$. En déduire une relation entre $𝑉$, $𝐸$, $𝜑$ et $\mathrm{\Psi }$.

5/ Déterminer l’expression de la puissance électrique ${𝑃}_{𝑎}$ absorbée par le moteur en fonction de $𝑉$, $𝐼$ et $𝜑$, puis en fonction de $𝐸$, $𝐼$ et $\mathrm{\Psi }$. Quelle relation existe-t-il entre cette puissance électrique ${𝑃}_{𝑎}$ et la puissance mécanique électromagnétique ${𝑃}_{𝑚}$ reçue par le rotor ?

6/ Exprimer le couple électromécanique $𝐶$ développé par le moteur en fonction de $𝐴$, $𝐼$ et $\mathrm{\Psi }$. Pour une intensité efficace $𝐼$ donnée, que doit-on faire pour maximiser le couple développé par la machine ? De quelle unique variable le couple dépend-il alors ? À quelle autre moteur ce fonctionnement fait-il penser ?

7/ On se place sur un point de fonctionnement à $\mathrm{\Psi }=0$, $𝐼={𝐼}_{𝑁}$ et $𝑛=1500\hspace{0.17em}\text{tr}\hspace{0.17em}{\text{min}}^{-1}$. Que vaut le moment du couple $𝐶$ développé par le moteur ? Représenter le diagramme vectoriel représentatif du fonctionnement. Placer les vecteurs représentatifs des complexes $𝐸$, $𝑉$ et $𝐼$. En déduire les expressions numériques de $𝑉$ et $𝜑$. Calculer leurs valeurs numériques correspondantes.