Etude graphique d'un cycle d'hystérésis — Conversion de puissance 2 : Transformateur

Un matériau ferromagnétique est destiné à réaliser la carcasse d’un transformateur. On se propose de visualiser le cycle d’hystérésis de ce matériau sur un écran d’oscilloscope c’est-à-dire la courbe

𝐵 (𝐻)

où

𝐵

𝐻

représentent les valeurs algébriques de

\vec{𝐵}

\vec{𝐻}

. Pour cela, on réalise le montage suivant.

Sur le noyau ferromagnétique de forme torique, de section S, de circonférence moyenne

𝑙

(

𝑙^{2} ≫ 𝑆

), on enroule

𝑛_{1}

spires constituant l’enroulement primaire et

𝑛_{2}

spires constituant l’enroulement secondaire.

Le générateur de f.é.m.

𝑒 (𝑡) = 𝐸 cos (𝜔 𝑡)

est une source de tension sinusoïdale de fréquence

𝑓 = 50 Hz

La résistance

𝑅 = 1,0

⋅105 Ω est telle que le produit

𝑛_{2} 𝑖_{2}

est négligeable devant le produit

𝑛_{1} 𝑖_{1}

Coup de pouce 1

Prendre sous les yeux la simulation des lignes de champ dans un circuit magnétique sans entrefer (chapitre électromagnétisme 4).

Coup de pouce 2

A quels endroits ont lieu les fuites de ligne de champ ?

Corrigé

Le tore est une forme régulière sans angle vif, ce qui limite les fuites de lignes de champ magnétique à l’extérieur du noyau.

2/ Dans ce montage, le circuit

𝑅 𝐶

(entrée

𝑢_{2}

, sortie

𝑣_{𝑦}

) fonctionne en intégrateur. Quelle condition la capacité

𝐶

doit-elle satisfaire pour cela ? Quelle(s) valeur(s) peut-on choisir pour

𝐶

parmi les valeurs usuelles suivantes :

10 nF, 47 nF, 100 nF, 1 µF

4,7 µF

Coup de pouce 1

Exprimer la fonction de transfert du filtre RC.

Coup de pouce 2

A quelle condition la fonction de transfert du filtre RC correspond-elle à un intégrateur ?

Corrigé

𝐻 = \frac{\frac{1}{𝑗 𝐶 𝜔}}{𝑅 + \frac{1}{𝑗 𝐶 𝜔}} = \frac{1}{𝑗 𝐶 𝜔 𝑅 + 1}

$𝐻 \approx \frac{1}{𝑗 𝐶 𝜔 𝑅}$ si $𝐶 𝜔 𝑅 ≫ 1$ . Donc $𝐶 ≫ \frac{1}{𝜔 𝑅} = \frac{1}{2 𝜋 𝑓 𝑅} \approx 3,2$ ⋅10−8 F. Parmi les valeurs proposées, on peut choisir $𝐶 = 1 µF$ ou $𝐶 = 4,7 µF$ .

Coup de pouce 1

Relier

𝐻

au courant

𝑖_{1}

. Relier

𝑖_{1}

𝑣_{𝑥}

Coup de pouce 2

Appliquer le théorème d’Ampère sur une ligne de champ moyenne.

Corrigé

𝑣_{𝑥} = 𝑅_{0} 𝑖_{1}

Le théorème d’Ampère appliqué sur une ligne de champ moyenne dans le tore donne : $\oint \vec{𝐻} \cdot \vec{d 𝑙} = 𝑛_{1} 𝑖_{1} = 𝑛_{2} 𝑖_{2}$ soit $𝐻 𝑙 = 𝑛_{1} 𝑖_{1}$ donc

𝐻 = 𝑛_{1} \frac{𝑖_{1}}{𝑙} = \frac{𝑛_{1}}{𝑅_{0} 𝑙} 𝑣_{𝑥}

4/ Exprimer

𝐵

en fonction de

𝑣_{𝑦}

et expliquer pourquoi le montage permet de visualiser le cycle d’hystérésis.

Coup de pouce 1

Énoncer la loi de Lens-Faraday pour l’enroulement secondaire.

Corrigé

𝑢_{2} = \frac{d Φ}{d 𝑡} = 𝑛_{2} 𝑆 \frac{d 𝐵}{d 𝑡}

Or la tension $𝑦$ à la sortie de l’intégrateur s’écrit $𝑣_{𝑦} = \frac{1}{𝑅 𝐶} \int_{0}^{𝑡} 𝑢_{2} (𝑥) d 𝑥 = \frac{𝑛_{2} 𝑆}{𝑅 𝐶}$

𝐵 = \frac{𝑅 𝐶}{𝑛_{2} 𝑆} 𝑣_{𝑦}

$𝑣_{𝑥}$ est proportionnel à $𝐻$ et $𝑣_{𝑦}$ est proportionnel à $𝐵$ , le montage permet donc de visualiser le cycle d’hystérésis $𝐵 (𝐻)$ sur l’oscilloscope en se plaçant en mode XY.

Dans toute la suite, on prendra

𝑙 = 50 cm

𝑆 = 20 {cm}^{2}

𝐶 = 1 µF

𝑅_{0} = 5 Ω

𝑛_{1} = 𝑛_{2} = 50

pour les applications numériques.

5/ Calculer, en précisant les unités, les coefficients de proportionnalité entre

𝐻

𝑣_{𝑥}

puis entre

𝐵

𝑣_{𝑦}

Coup de pouce 1

Il s’agit de faire l’application numérique des coefficients de proportionnalité entre

𝐻

𝑣_{𝑥}

et entre

𝐵

𝑣_{𝑦}

Corrigé

$\frac{𝑛_{1}}{𝑙 𝑅_{0}} = 2,0$ ⋅101 A m−1 ⁠V−1

$\frac{𝑅 𝐶}{𝑛_{2} 𝑆} = 1 T V^{- 1}$

On obtient l’oscillogramme suivant.

𝑣_{𝑥}

est en ordonnée (1 graduation représente

2

⁠

V

𝑣_{𝑦}

est en abscisse (1 graduation représente

1

⁠

V

6/ Déduire de cet oscillogramme les valeurs approximatives du champ magnétique rémanent

𝐵_{𝑟}

, de l’aimantation rémanente

𝑀_{𝑟}

et du champ coercitif

𝐻_{𝑐}

Coup de pouce 1

Lire graphiquement les tensions

𝑣_{𝑥}

𝑣_{𝑦}

correspondant au champ rémanent et à l’excitation coercitive puis les convertir avec les résultats de la question précédente.

Corrigé

Le champ magnétique rémanent est à $1,3$ carreaux, soit $𝑣_{𝑦} = 1,3 V$ et donc $𝐵_{𝑟} = 1 T$ .

L’excitation coercitive est à $0,5$ carreaux, soit $𝑣_{𝑥} = 1 V$ et donc $𝐻_{𝑐} = 2,0$ ⋅101 A m−1.

$𝑀 = \frac{𝐵}{𝜇_{0}} - 𝐻$ d’où $𝑀_{𝑟} = \frac{𝐵}{𝜇_{0}} = 1$ ⋅106 A m−1

Dans le schéma du montage, on peut raisonnablement négliger la puissance dissipée par effet Joule dans les enroulements primaire et secondaire. Pour simplifier, on suppose également négligeables les pertes dues aux courants de Foucault dans le tore. Dans ces conditions, la puissance

𝑝_{𝐻} = 𝑢_{1} 𝑖_{1}

dissipée est uniquement due aux propriétés ferromagnétiques du noyau.

7/ Établir la relation liant

𝑃_{𝐻}

, valeur moyenne de

𝑝_{𝐻} (𝑡)

, à l’aire

𝒜︀

du cycle d’hystérésis représentant l’évolution de

𝐵

en fonction de

𝐻

Coup de pouce 1

La démo a été vue en cours.

Corrigé

Démo de cours :

𝑃_{𝐻} = 𝑉 𝑓 𝒜︀

8/ Sur l’oscillogramme, on évalue l’aire du cycle à 6 carreaux. En déduire la valeur de la puissance moyenne

𝑃_{𝐻}

dissipée à cause du phénomène d’hystérésis dans l’ensemble du tore dans l’essai réalisé.

Coup de pouce 1

Utiliser les relations des questions précédentes pour convertir l’aire en carreaux en

V^{2}

puis en

A ⁠T m^{- 1}

Corrigé

1 carreau correspond à une aire sur le cycle d’hystérésis de $2$ ⁠⁠ $V^{2}$ .

$1$ ⁠⁠ $V^{2}$ correspond à une aire $\frac{𝑅 𝐶}{𝑛_{2} 𝑆} \frac{𝑛_{1}}{𝑙 𝑅_{0}}$ .

Finalement, $𝒜︀ = 6 \times 2 \times 2,0$ ⋅101×1,0=2⋅102 A ⁠T m−1.

9/ A-t-on intérêt pour la fabrication des transformateurs à utiliser un matériau ferromagnétique ayant un champ coercitif important ou faible au contraire ? Justifier

Etude graphique d’un cycle d’hystérésis