Séchoir électrique — Conversion de puissance 1 : Puissance électrique en régime sinusoïdal

Le circuit d’alimentation d’un séchoir électrique est composé d’une résistance

𝑅

branchée en parallèle avec une branche comprenant une bobine d’inductance

𝐿

et d’une résistance

𝑟

. Le circuit est alimenté avec le secteur (

230

⁠

V

efficace,

50

⁠

Hz

). Le séchoir admet 3 modes de fonctionnement : mode froid F, mode I et mode II. On donne le tableau suivant :

Mode	F	I	II
Puissance moyenne absorbée ( $W$ )	$520$	$2800$	$10 000$
Déphasage de la tension par rapport au courant total	$𝜑_{F}$	$𝜑_{I}$	$𝜑_{II} = 5 °$
$𝑅$	$\infty$	$𝑅_{I}$	$𝑅_{II}$

2/ Tracer les chronogrammes de

𝑢 (𝑡)

𝑖 (𝑡)

pour les trois modes de fonctionnement,

𝑖 (𝑡)

représentant le courant total.

Coup de pouce 1

Le séchoir est-il un dipôle inductif ou capacitif ? Le courant est-il en avance ou en retard sur la tension ?

Corrigé

Quel que soit le mode, le dipôle global est inductif. Le courant sera donc en retard sur la tension.

Plus $𝑅$ est grand, moins de courant y passe dont plus l’amplitude du courant est faible.

Difficile de justifier les phases pour l’instant, on le fera plus tard dans l’exercice.

Coup de pouce 1

Quelle puissance est consommée par

𝑅

dans les modes I et II ?

Coup de pouce 2

La puissance consommée par

𝑟

𝐿

dépend-elle du mode ?

Coup de pouce 3

Quelle relation relie puissance reçue et tension efficace pour un résistor ?

Corrigé

$𝑃_{moteur} = 𝑃_{F} = 520 W$ donc $𝑃_{𝑅_{I}} = 𝑃_{I} - 𝑃_{F} = 2800 W - 520 W = 2280 W$ .

Or $𝑃_{𝑅_{I}} = \frac{𝑈_{eff}^{2}}{𝑅_{I}}$ . Donc $𝑅_{I} = \frac{𝑈_{eff}^{2}}{𝑃_{𝑅_{I}}} = \frac{{(230 V)}^{2}}{2280 W} \approx 23 Ω$ .

De même, $𝑃_{𝑅_{II}} = 𝑃_{II} - 𝑃_{F} = 10 000 W - 520 W = 9480 W$ .

Or $𝑃_{𝑅_{II}} = \frac{𝑈_{eff}^{2}}{𝑅_{II}}$ . Donc $𝑅_{II} = \frac{𝑈_{eff}^{2}}{𝑃_{𝑅_{II}}} = \frac{{(230 V)}^{2}}{9480 W} \approx 5,6 Ω$ .

4/ En utilisant le mode

𝐹

, montrer que

{(𝐿 𝜔)}^{2} + 𝑟^{2} = 102 𝑟

Coup de pouce 1

Représenter

𝑍

l’impédance équivalente de

𝑟

𝐿

, sur un diagramme de Fresnel. En déduire une relation entre le facteur de puissance,

𝑟

𝐿

𝜔

Coup de pouce 2

Comment la puissance moyenne reçue par

𝑟

𝐿

s’exprime-t-elle en fonction du facteur de puissance ?

Corrigé

𝑃_{F} = 𝑈_{eff} 𝐼_{F} cos 𝜑_{F}

avec

| 𝑍_{F} | = | \frac{𝑢}{𝑖} | = \frac{𝑈_{eff}}{𝐼_{F}}

donc

𝑃_{F} = \frac{𝑈_{eff}^{2}}{| 𝑍_{F} |} cos 𝜑_{F}

cos (𝜑_{F}) = \frac{Re (𝑍_{F})}{| 𝑍_{F} |}

𝑍 = 𝑟 + 𝑗 𝐿 𝜔

donc

cos (𝜑_{F}) = \frac{𝑟}{\sqrt{𝑟^{2} + {(𝐿 𝜔)}^{2}}}

On a donc

𝑃_{F} = 𝑈_{eff}^{2} \frac{Re (𝑍_{F})}{| 𝑍_{F}^{2} |} = 𝑈_{eff}^{2} \frac{𝑟}{𝑟^{2} + {(𝐿 𝜔)}^{2}}

et finalement

{(𝐿 𝜔)}^{2} + 𝑟^{2} = 𝑈_{eff}^{2} \frac{𝑟}{𝑃_{F}} = \frac{{(230 V)}^{2}}{520 W} 𝑟 \approx 102 𝑟

5/ Montrer que

tan 𝜑 = \frac{𝐿 𝜔 𝑅}{𝑅 𝑟 + 𝑟^{2} + 𝐿^{2} 𝜔^{2}}

Coup de pouce 1

Exprimer l’impédance équivalente totale en fonction de

𝑟

𝐿

𝑅

Coup de pouce 2

Représenter l’impédance équivalente totale sur un diagramme de Fresnel.

Corrigé

\begin{aligned} 𝑍_{éq} & = \frac{(𝑟 + 𝑗 𝐿 𝜔) 𝑅}{𝑟 + 𝑅 + 𝑗 𝐿 𝜔} \\ = \frac{(𝑟 + 𝑗 𝐿 𝜔) 𝑅 (𝑟 + 𝑅 - 𝑗 𝐿 𝜔)}{(𝑟 + 𝑅 + 𝑗 𝐿 𝜔) (𝑟 + 𝑅 - 𝑗 𝐿 𝜔)} \\ = \frac{𝑅 (𝑟^{2} + 𝑟 𝑅 + 𝐿^{2} 𝜔^{2}) + 𝑗 𝐿 𝜔 𝑅^{2}}{{(𝑟 + 𝑅)}^{2} + {(𝐿 𝜔)}^{2}} \end{aligned}

On a donc

\begin{aligned} tan 𝜑 & = \frac{Im (𝑍_{éq})}{Re (𝑍_{éq})} \\ = \frac{𝐿 𝜔 𝑅^{2}}{𝑅 (𝑟^{2} + 𝑟 𝑅 + 𝐿^{2} 𝜔^{2})} \\ = \frac{𝐿 𝜔 𝑅}{𝑟^{2} + 𝑟 𝑅 + 𝐿^{2} 𝜔^{2}} \end{aligned}

Coup de pouce 1

Exprimer

tan 𝜑

dans les modes II et F et utiliser

𝐿 𝜔^{2} + 𝑟^{2} = 102 𝑟

Corrigé

On utilise la connaissance de $𝜑_{II}$ pour calculer les autres.

tan (𝜑_{II}) = \frac{𝐿 𝜔 𝑅_{II}}{𝑅_{II} 𝑟 + 102 𝑟}

On en déduit

\frac{𝐿 𝜔}{𝑟} = \frac{𝑅_{II} + 102}{𝑅_{II}} tan (𝜑_{II})

On a alors

tan (𝜑_{F}) = \frac{𝐿 𝜔}{𝑟} = \frac{𝑅_{II} + 102}{𝑅_{II}} tan (𝜑_{II})

d’où

𝜑_{F} = arctan (\frac{𝑅_{II} + 102}{𝑅_{II}} tan (𝜑_{II})) = 59 °

tan (𝜑_{I}) = \frac{𝐿 𝜔}{𝑟} \frac{𝑅_{I}}{𝑅_{I} + 102} = \frac{𝑅_{II} + 102}{𝑅_{II}} tan (𝜑_{II}) \frac{𝑅_{I}}{𝑅_{I} + 102}

d’où

𝜑_{I} = arctan (\frac{𝑅_{II} + 102}{𝑅_{II}} tan (𝜑_{II}) \frac{𝑅_{I}}{𝑅_{I} + 102}) = 17 °

Séchoir électrique ★