Relèvement du facteur de puissance — Conversion de puissance 1 : Puissance électrique en régime sinusoïdal

Une installation industrielle comporte en parallèle deux machines assimilées à des impédances inductives qui consomment respectivement les puissances

𝑃_{1} = 2000 W

avec un facteur de puissance

cos 𝜑_{1} = 0, 6

𝑃_{2} = 3000 W

avec un facteur de puissance

cos 𝜑_{2} = 0, 7

, en parallèle desquelles sont branchées des lampes consommant au total une puissance

𝑃_{𝐿} = 2000 W

. Les lampes sont assimilées à des résistances.

La tension aux bornes de l’installation est sinusoïdale de fréquence

𝑓 = 50 Hz

et sa valeur efficace est

𝑈_{eff} = 230 V

1/ Calculer le facteur de puissance et la valeur efficace du courant consommé par l’installation complète et commenter le résultat.

Coup de pouce 1

Déterminer l’admittance de chaque machine et des lampes, puis l’admittance totale.

Coup de pouce 2

Déterminer la partie réelle de l’admittance grâce à la puissance. Représenter l’admittance sur un diagramme de Fresnel et en déduire une relation entre

𝜑

, la partie réelle et la partie imaginaire de m’admittance.

Corrigé

On calcule les admittances des deux machines et des lampes : $𝑌_{1}$ , $𝑌_{2}$ et $𝑌_{𝐿}$ .

Les lampes sont purement résistives donc

𝑌_{𝐿} = \frac{𝑃_{𝐿}}{𝑈_{eff}^{2}} = 38 mS

Pour la machine 1, on a $𝑃_{1} = 𝑈_{eff}^{2} Re (𝑌_{1})$ donc $Re (𝑌_{1}) = \frac{𝑃_{1}}{𝑈_{eff}^{2}}$ .

De plus, $𝜑_{1} = arccos (cos (𝜑_{1}))$ . Connaissant la partie réelle de $𝑌_{1}$ et son argument, on le donc connait complètement :

\begin{aligned} 𝑌_{1} = Re (𝑌_{1}) + 𝑗 Im (𝑌_{1}) & = Re (𝑌_{1}) - 𝑗 Re (𝑌_{1}) tan (𝜑_{1}) \\ = \frac{𝑃_{1}}{𝑈_{eff}^{2}} - 𝑗 \frac{𝑃_{1}}{𝑈_{eff}^{2}} tan (arccos (cos (𝜑_{1}))) \\ = 38 - 50 𝑗 mS \end{aligned}

De même, on trouve $𝑌_{2} = 57 - 58 𝑗 mS$ .

On peut en déduire l’admittance totale : $𝑌_{tot} = 𝑌_{1} + 𝑌_{2} + 𝑌_{𝐿} = 133 - 108 𝑗 mS$ , puis le déphasage totale :

𝜑_{tot} = arctan (\frac{Im (𝑌_{tot})}{Re (𝑌_{tot})}) = arctan (- \frac{108}{133}) = 39 °

et le facteur de puissance $cos (𝜑_{tot}) = 0,77$ .

Ce facteur de puissance est assez faible, ce qui signifie que l’installation consomme beaucoup de puissance réactive, engendrant des pertes en lignes importantes.

2/ Pour réduire les pertes en lignes, on ajoute un condensateur à l’installation. Doit-on l’ajouter en parallèle ou en série ?

Coup de pouce 1

Il faut que les machines continuent à fonctionner normalement, donc que la tension à leur bornes ne soit pas modifiée par l’ajout du condensateur.

Corrigé

Le condensateur doit être ajouté en parallèle, de façon à ne pas modifier la tension aux bornes des machines, afin qu’elles continuent à fonctionner normalement.

3/ Calculer la valeur du condensateur pour ramener le facteur de puissance à

1

Coup de pouce 1

Que peut-on dire de l’admittance totale si le facteur de puissance est égal à 1 ?

Corrigé

Comme le condensateur est en parallèle, l’admittance totale devient $𝑌_{global} = 𝑌_{tot} + 𝑗 𝜔 𝐶$ .

On veut $cos (𝜑_{global}) = 1$ , c’est-à-dire $𝜑_{global} = 0$ autrement dit $Im (𝑌_{global}) = 0$ .

On a donc

0 = Im (𝑌_{tot}) + 𝜔 𝐶

d’où

𝐶 = - \frac{Im (𝑌_{tot})}{𝜔} = \frac{108 mS}{2 𝜋 50} = 258 µF

Relèvement du facteur de puissance ★★