Méthode des trois ampèremètres — Conversion de puissance 1 : Puissance électrique en régime sinusoïdal

On considère le montage ci-dessous qui utilise une résistance étalon

𝑅

connue pour déterminer expérimentalement le facteur de puissance d’une impédance

𝑍

Les grandeurs

𝑖 (𝑡)

𝑖_{1} (𝑡)

𝑖_{2} (𝑡)

sont sinusoïdales de valeurs efficaces respectives

𝐼

𝐼_{1}

𝐼_{2}

1/ Exprimer le facteur de puissance

cos 𝜑_{1}

du dipôle

𝑍

en fonction de

𝐼_{1}

𝐼_{2}

𝐼

Coup de pouce 1

Écrire la loi des nœuds et en déduire une relation entre

𝐼

𝐼_{1}

𝐼_{2}

Coup de pouce 2

Écrire les expressions temporelles de

𝑖_{1} (𝑡)

𝑖_{2} (𝑡)

. Quelle est la définition de la valeur efficace ?

Corrigé

𝑖 (𝑡) = 𝑖_{1} (𝑡) + 𝑖_{2} (𝑡)

\int_{0}^{𝑇} 𝑖^{2} (𝑡) d 𝑡 = \int_{0}^{𝑇} 𝑖_{1}^{2} (𝑡) d 𝑡 + \int_{0}^{𝑇} 𝑖_{2}^{2} (𝑡) d 𝑡 + 2 \int_{0}^{𝑇} 𝑖_{1} (𝑡) 𝑖_{2} (𝑡) d 𝑡

Les courants $𝑖$ , $𝑖_{1}$ et $𝑖_{2}$ sont sinusoïdaux : $𝑖 (𝑡) = \sqrt{2} 𝐼 cos (𝜔 𝑡 + 𝜑)$ , $𝑖_{1} (𝑡) = \sqrt{2} 𝐼_{1} cos (𝜔 𝑡 + 𝜑_{1})$ et $𝑖_{2} (𝑡) = \sqrt{2} 𝐼_{2} cos (𝜔 𝑡)$ (pas de phase pour $𝑖_{2}$ la $𝑅 \in ℝ$ ).

\begin{aligned} 𝐼^{2} & = 𝐼_{1}^{2} + 𝐼_{2}^{2} + 4 𝐼_{1} 𝐼_{2} \int \frac{cos (2 𝜔 𝑡 + 𝜑_{1}) + cos (𝜑_{1})}{2} d 𝑡 \\ = 𝐼_{1}^{2} + 𝐼_{2}^{2} + 2 𝐼_{1} 𝐼_{2} cos (𝜑_{1}) \end{aligned}

On a finalement :

cos (𝜑_{1}) = \frac{𝐼^{2} - 𝐼_{1}^{2} - 𝐼_{2}^{2}}{2 𝐼_{1} 𝐼_{2}}

Un abonné d’EDF dispose d’un radiateur électrique qui est parcouru par

12

⁠

A

efficace quand il est branché seul et d’un moteur qui est parcouru par

40

⁠

A

efficace dans les mêmes conditions. Lorsqu’il branche les deux, le courant efficace total est

40

⁠

A