Vidange d'une cuve — Bilans macroscopiques

Cet exercice est un problème ouvert. Il nécessite de prendre des initiatives et de faire des choix dans la modélisation. Des approximations et des estimations sont souvent nécessaires pour arriver à une solution.

Un agriculteur souhaite vidanger une cuve cubique d’un mètre cube remplie d’eau par un robinet situé en bas.

Coup de pouce 1

En supposant l’écoulement parfait, stationnaire, incompressible et homogène, établir l’expression de la vitesse au niveau de la vanne.

Coup de pouce 2

Relier le débit volumique à la vitesse de l’écoulement au niveau de la vanne.

Coup de pouce 3

Relier le volume d’eau dans la cuve à la hauteur d’eau.

Coup de pouce 4

Formuler une équation différentielle sur la hauteur ou le volume d’eau puis l’intégrer.

Coup de pouce 5

L’équation différentielle peut être intégrée entre l’état initial et l’état final par séparation des variables.

Coup de pouce 6

2 \sqrt{𝑥}

est une primitive de

\frac{1}{\sqrt{𝑥}}

Coup de pouce 7

Estimer la section de la vanne à partir de la photo.

Corrigé

On note $ℎ (𝑡)$ la hauteur d’eau dans la cuve à l’instant $𝑡$ , $𝑎$ la largeur de la cuve, $𝑆$ la section de la vanne, $𝑣 (𝑡)$ la vitesse de l’eau à la sortie de la cuve et $𝐷_{𝑉 (𝑡)}$ le débit volumique à la sortie de la cuve.

Si on suppose l’écoulement parfait, stationnaire, incompressible et homogène, on peut appliquer le théorème de Bernoulli entre la surface libre de l’eau dans la cuve (point 1) et la sortie du robinet (point 2). On a alors, en négligeant la vitesse de la surface libre par rapport à la vitesse de sortie (ce qui revient à supposer que la section de la cuve est bien plus grande que celle de la vanne),

𝑃_{1} + 𝜌 𝑔 ℎ (𝑡) + 0 = 𝑃_{2} + 0 + \frac{1}{2} 𝜌 𝑣^{2}

Ici, $𝑃_{1} = 𝑃_{2} = 𝑃_{atm}$ , d’où

𝑣 = \sqrt{2 𝑔 ℎ (𝑡)}

Le débit volumique s’écrit alors

𝐷_{𝑉} = 𝑆 𝑣 = 𝑆 \sqrt{2 𝑔 ℎ (𝑡)}

Pour un fluide incompressible, le volume se conserve, donc

\begin{matrix} d^{2} 𝑉 = 𝛿^{2} 𝑉 \\ 𝑎^{2} (ℎ (𝑡 + d 𝑡) - ℎ (𝑡)) = - 𝐷_{𝑉} d 𝑡 \\ 𝑎^{2} \frac{d ℎ}{d 𝑡} = - 𝑆 \sqrt{2 𝑔 ℎ (𝑡)} \end{matrix}

En séparant les variables, on obtient

\frac{d ℎ}{\sqrt{ℎ}} = - \frac{𝑆 \sqrt{2 𝑔}}{𝑎^{2}} d 𝑡

\int_{𝑎}^{0} \frac{d ℎ}{\sqrt{ℎ}} = - \frac{𝑆 \sqrt{2 𝑔}}{𝑎^{2}} \int_{0}^{𝑡_{𝑓}} d 𝑡

{[2 \sqrt{ℎ}]}_{ℎ = 𝑎}^{ℎ = 0} = - \frac{𝑆 \sqrt{2 𝑔}}{𝑎^{2}} 𝑡_{𝑓}

- 2 \sqrt{𝑎} = - \frac{𝑆 \sqrt{2 𝑔}}{𝑎^{2}} 𝑡_{𝑓}

𝑡_{𝑓} = \frac{2 𝑎^{\frac{5}{2}}}{𝑆 \sqrt{2 𝑔}}

On estime la section de la vanne à $𝑆 \approx 10 {cm}^{2}$ et le côté de la cuve à $𝑎 = 1 m$ . On trouve alors

𝑡_{𝑓} = 5

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🤔 Vidange d’une cuve