Perte de charge dans un élargissement brusque

On s’intéresse à une conduite présentant un élargissement brutal, comme le montre la figure ci-dessous. L’écoulement est homogène, incompressible et le régime est stationnaire.

On suppose l’écoulement turbulent. Les lignes de courant représentées sont des courbes moyennes. Pour simplifier les calculs, on considère le champ de vitesse uniforme dans la section d’entrée

𝑆_{1}

Bien que le changement de section soit brutal, la section effective de l’écoulement varie lentement. Expérimentalement, on observe que l’écoulement devient quasiment uniforme au-delà d’une distance d’environ vingt fois le diamètre

𝑑_{2}

de la grande section.

On note

{\vec{𝑣}}_{1}

la vitesse en amont de l’écoulement et

{\vec{𝑣}}_{2}

la vitesse en aval.

La zone d’“eau morte” symbolisée sur le schéma par une zone grise est une zone de recirculation où il y a dissipation d’énergie mécanique. C’est elle qui est responsable de la perte de charge. La norme du champ des vitesses y est partout assez faible par rapport aux valeurs prises dans l’écoulement proprement dit. L’eau y est au repos sur une large épaisseur au contact des parois.

1/ Expliquer pourquoi la pression vaut

𝑃_{1}

dans la partie gauche de la zone d’eau morte, au contact de l’élargissement vertical.

Coup de pouce 1

Écrire la relation de Bernoulli entre la section gauche et l’élargissement.

Corrigé

On considère la ligne de courant la plus haute.

En appliquant le théorème de Bernoulli entre les points $𝐴$ et $𝐵$ , on obtient

𝑃_{1} + \frac{1}{2} 𝜇 𝑣_{1}^{2} = 𝑃 + \frac{1}{2} 𝜇 𝑣_{𝐵}^{2}

Or, le débit volumique se conserve (écoulement incompressible et homogène) d’où $𝑣_{1} 𝑆_{1} = 𝑣_{𝐵} 𝑆_{1}$ donc $𝑣_{𝐵} = 𝑣_{1}$ , ce qui donne

𝑃 = 𝑃_{1}

On peut de plus remarquer que cette pression $𝑃$ est uniforme dans la zone d’eau morte car l’équation fondamentale de l’hydrostatique s’écrit

\vec{grad} (𝑃) = 𝜇 \vec{𝑔} = \vec{0}

car les effets de la pesanteur sont négligés. On en déduit que $𝑃 = 𝑃_{1}$ dans toute la zone d’eau morte.

2/ Au moyen d’un bilan de quantité de mouvement sur un système fermé bien choisi, exprimer la chute de pression

𝑃_{1} - 𝑃_{2}

entre l’amont et l’aval en fonction de

𝜇

𝑣_{1}

et des sections.

Coup de pouce 1

Représenter sur un schéma les forces de pression s’exerçant tout autour du système. Sur quelle surface s’exerce la pression

𝑃_{1}

? Sur quelle surface s’exerce la pression

𝑃_{2}

Corrigé

D’après la question précédente, la pression vaut $𝑃_{1}$ dans toute la zone d’eau morte : la pression s’exerce donc bien sur toute la section $𝑆_{2}$ de la face amont, et non sur la seule section $𝑆_{1}$ .

On définit les systèmes suivants :

$Σ^{0}$ le système ouvert délimité par les surfaces $𝑆_{1}$ et $𝑆_{2}$
$𝛿 Σ_{1}$ le système franchissant $𝑆_{1}$ entre les temps $𝑡$ et $𝑡 + d 𝑡$
$𝛿 Σ_{2}$ le système franchissant $𝑆_{2}$ entre les temps $𝑡$ et $𝑡 + d 𝑡$
le système fermé $Σ^{*}$ composé à l’instant $𝑡$ de $Σ^{0} (𝑡) \cup 𝛿 Σ_{1}$

$Σ^{*} (𝑡 + d 𝑡)$ est donc composé, à l’instant $𝑡 + d 𝑡$ , de $Σ^{0} (𝑡 + d 𝑡) \cup 𝛿 Σ_{2}$ .

On applique le théorème de la quantité de mouvement au système fermé $Σ^{*}$ entre les instants $𝑡$ et $𝑡 + d 𝑡$ .

\begin{matrix} 𝑃_{1} 𝑆_{2} {\vec{𝑒}}_{𝑥} - 𝑃_{2} 𝑆_{2} {\vec{𝑒}}_{𝑥} = \frac{d {\vec{𝑝}}^{*}}{d 𝑡} = \frac{{\vec{𝑝}}^{*} (𝑡 + d 𝑡) - {\vec{𝑝}}^{*} (𝑡)}{d 𝑡} = \frac{{\vec{𝑝}}^{0} (𝑡 + d 𝑡) - {\vec{𝑝}}^{0} (𝑡) + \vec{𝑝} (𝛿 Σ_{2}) - \vec{𝑝} (𝛿 Σ_{1})}{d 𝑡} \\ = \frac{0 + 𝑣_{2} 𝛿 𝑚_{2} {\vec{𝑒}}_{𝑥} - 𝑣_{1} 𝛿 𝑚_{1} {\vec{𝑒}}_{𝑥}}{d 𝑡} \end{matrix}

Or, en régime stationnaire, $𝛿 𝑚_{1} = 𝛿 𝑚_{2} = 𝐷_{𝑚} d 𝑡 = 𝜇 𝑣_{1} 𝑆_{1} d 𝑡$

La conservation du débit volumique donne $𝑣_{1} 𝑆_{1} = 𝑣_{2} 𝑆_{2}$ donc $𝑣_{2} = \frac{𝑆_{1}}{𝑆_{2}} 𝑣_{1}$ . On en déduit

𝑃_{1} 𝑆_{2} - 𝑃_{2} 𝑆_{2} = 𝑣_{1} \frac{𝑆_{1}}{𝑆_{2}} 𝜇 𝑣_{1} 𝑆_{1} - 𝑣_{1} 𝜇 𝑣_{1} 𝑆_{1} = 𝜇 𝑣_{1}^{2} 𝑆_{1} (\frac{𝑆_{1}}{𝑆_{2}} - 1)

d’où

𝑃_{1} - 𝑃_{2} = 𝜇 𝑣_{1}^{2} ({(\frac{𝑆_{1}}{𝑆_{2}})}^{2} - \frac{𝑆_{1}}{𝑆_{2}})

3/ En déduire le coefficient de récupération de pression

𝜁

défini par

𝑃_{2} - 𝑃_{1} = 𝜁 \frac{1}{2} 𝜇 𝑣_{1}^{2}

. Effectuer l’application numérique pour

𝑆_{2} = 2 𝑆_{1}

Corrigé

𝜁 = \frac{𝑃_{2} - 𝑃_{1}}{\frac{1}{2} 𝜇 𝑣_{1}^{2}} = 2 (\frac{𝑆_{1}}{𝑆_{2}} - {(\frac{𝑆_{1}}{𝑆_{2}})}^{2}) = 0,5

4/ La pression statique augmente donc à la traversée de l’élargissement. Où est alors la perte de charge ? En déduire le coefficient de perte de charge singulière

𝜁_{pdc}

, défini sur la chute de pression totale, et faire l’application numérique.

Coup de pouce 1

La charge est la pression totale

𝑃 + \frac{1}{2} 𝜇 𝑣^{2}

, et non la seule pression statique.

Corrigé

La charge est la pression totale. Sa variation vaut

\begin{aligned} (𝑃_{2} + \frac{1}{2} 𝜇 𝑣_{2}^{2}) - (𝑃_{1} + \frac{1}{2} 𝜇 𝑣_{1}^{2}) & = 𝜇 𝑣_{1}^{2} (\frac{𝑆_{1}}{𝑆_{2}} - {(\frac{𝑆_{1}}{𝑆_{2}})}^{2}) + \frac{1}{2} 𝜇 𝑣_{1}^{2} ({(\frac{𝑆_{1}}{𝑆_{2}})}^{2} - 1) \\ = - \frac{1}{2} 𝜇 𝑣_{1}^{2} {(1 - \frac{𝑆_{1}}{𝑆_{2}})}^{2} \end{aligned}

Elle est bien négative : la pression statique augmente, mais l’énergie cinétique perdue est plus grande encore, et la différence est dissipée dans la zone d’eau morte. D’où le coefficient de perte de charge, dit de Borda–Carnot,

𝜁_{pdc} = {(1 - \frac{𝑆_{1}}{𝑆_{2}})}^{2} = 0,25

Perte de charge dans un élargissement brusque ★