Fonctionnement d'une hélice — Bilans macroscopiques

Une hélice animée d’un mouvement de rotation uniforme autour de l’axe

(𝑂 𝑥)

est plongée dans un fluide parfait et homogène, de masse volumique

𝜌

. L’étude est faite dans le référentiel galiléen

ℛ︀

lié à l’axe de l’hélice. Dans ce référentiel, l’écoulement est stationnaire et incompressible. On néglige l’influence de la pesanteur.

On considère un tube de courant possédant la symétrie de révolution autour de l’axe

(𝑂 𝑥)

et s’appuyant sur les pales de l’hélice. À partir de ce tube de courant, on définit la surface fermée constituée de la surface latérale du tube de courant,

𝑆_{lat}

et des sections droites

𝑆_{1}

en amont et

𝑆_{2}

en aval. La pression à l’extérieur de ce tube de courant est uniforme et égale à

𝑃_{𝑎}

Sur la surface

𝑆_{1}

, la vitesse est uniforme et égale à

𝑣_{1} {\vec{𝑒}}_{𝑥}

, sur

𝑆_{2}

, elle vaut

𝑣_{2} {\vec{𝑒}}_{𝑥}

Au voisinage de l’hélice, on considère deux sections

𝑆

𝑆^{'}

d’aire identique :

Entre

𝑆

𝑆^{'}

, l’écoulement est perturbé, il existe une discontinuité de pression de part et d’autre de l’hélice.

1/ En utilisant le théorème de Bernoulli, exprimer la pression

𝑃

en fonction de

𝑃_{𝑎}

𝜌

𝑣_{1}

𝑣

. Faire de même pour

𝑃^{'}

en fonction de

𝑃_{𝑎}

𝜌

𝑣_{2}

𝑣^{'}

Corrigé

L’écoulement est parfait, stationnaire, incompressible et homogène, on peut donc appliquer le théorème de Bernoulli entre $𝑆_{1}$ et $𝑆$ puis entre $𝑆^{'}$ et $𝑆_{2}$ . Les effets de la pesanteur étant négligés, on trouve :

{\begin{cases} 𝑃 = 𝑃_{𝑎} + \frac{1}{2} 𝜌 (𝑣_{1}^{2} - 𝑣^{2}) \\ 𝑃^{'} = 𝑃_{𝑎} + \frac{1}{2} 𝜌 (𝑣_{2}^{2} - 𝑣^{' 2}) \end{cases}

2/ On note

\vec{𝐹}

la résultante des forces exercées par l’hélice sur le fluide. En appliquant le théorème de la résultante cinétique sur un système bien choisi, exprimer

\vec{𝐹}

en fonction de

𝑆

𝑃

𝑃^{'}

, puis en fonction de

𝜌

𝑆

𝑣_{1}

𝑣_{2}

Coup de pouce 1

Quelles sont les trois forces s’appliquant sur le système ?

Coup de pouce 2

Les 3 forces sont les deux forces de pression et la force

\vec{𝐹}

Coup de pouce 3

Justifier que le débit volumique se conserve. En déduire une relation entre

𝑣

𝑣^{'}

Corrigé

On note

$Σ^{0}$ le système ouvert délimité par les surfaces $𝑆$ et $𝑆^{'}$
$𝛿 Σ_{1}$ le fluide traversant la surface $𝑆$ entre $𝑡$ et $𝑡 + d 𝑡$
$𝛿 Σ_{2}$ le fluide traversant la surface $𝑆^{'}$ entre $𝑡$ et $𝑡 + d 𝑡$
$Σ^{*}$ le système fermé défini à $𝑡$ par $Σ^{*} (𝑡) = Σ^{0} (𝑡) \cup 𝛿 Σ_{1}$ .

À l’instant $𝑡 + d 𝑡$ , le système $Σ^{*} (𝑡 + d 𝑡) = Σ^{0} (𝑡 + d 𝑡) \cup 𝛿 Σ_{2}$ .

$Σ^{*}$ est un système fermé, on peut appliquer le théorème de la résultante cinétique (autrement dit, faire un bilan de quantité de mouvement) :

\vec{𝐹} + {\vec{𝐹}}_{𝑝} = \frac{d {\vec{𝑝}}^{*}}{d 𝑡} = \frac{{\vec{𝑝}}^{*} (𝑡 + d 𝑡) - {\vec{𝑝}}^{*} (𝑡)}{d 𝑡} = \frac{{\vec{𝑝}}_{0} (𝑡 + d 𝑡) + 𝛿 𝑚_{2} {\vec{𝑣}}^{'} - {\vec{𝑝}}_{0} (𝑡) - 𝛿 𝑚_{1} \vec{𝑣}}{d 𝑡}

Or le régime est stationnaire, donc ${\vec{𝑝}}_{0} (𝑡 + d 𝑡) = {\vec{𝑝}}_{0} (𝑡)$ et $𝛿 𝑚_{1} = 𝛿 𝑚_{2} ≕ 𝛿 𝑚$ , d’où

\begin{matrix} \vec{𝐹} + {\vec{𝐹}}_{𝑝} = \frac{𝛿 𝑚}{d 𝑡} ({\vec{𝑣}}^{'} - \vec{𝑣}) \\ \vec{𝐹} + 𝑃 𝑆 {\vec{𝑒}}_{𝑥} - 𝑃^{'} 𝑆 {\vec{𝑒}}_{𝑥} = 𝐷_{𝑚} (𝑣^{'} - 𝑣) {\vec{𝑒}}_{𝑥} \end{matrix}

Or en régime stationnaire et pour un écoulement incompressible, le débit volumique se conserve, donc $𝑣 𝑆 = 𝑣^{'} 𝑆$ , d’où $𝑣 = 𝑣^{'}$ . On en déduit finalement

\vec{𝐹} = 𝑆 (𝑃^{'} - 𝑃) {\vec{𝑒}}_{𝑥} = \frac{1}{2} 𝜌 𝑆 (𝑣_{2}^{2} - 𝑣_{1}^{2}) {\vec{𝑒}}_{𝑥}

3/ En effectuant un bilan de quantité de mouvement cette fois-ci sur le volume compris entre

𝑆_{1}

𝑆_{2}

, établir l’expression de

\vec{𝐹}

en fonction de

𝑆

𝜌

𝑣

𝑣_{1}

𝑣_{2}

Coup de pouce 1

Justifier que la résultante des forces de pression est nulle.

Corrigé

On procède de la même manière que précédemment, en considérant cette fois le système ouvert délimité par les sections $𝑆_{1}$ et $𝑆_{2}$ . On trouve :

\vec{𝐹} = 𝐷_{𝑚} (𝑣_{2} - 𝑣_{1}) {\vec{𝑒}}_{𝑥} = 𝜌 𝑣 𝑆 (𝑣_{2} - 𝑣_{1}) {\vec{𝑒}}_{𝑥}

4/ En égalisant les expressions obtenues dans les deux questions précédentes, donner une relation simple entre

𝑣

𝑣_{1}

𝑣_{2}

Corrigé

En égalisant les deux expressions de $\vec{𝐹}$ , on trouve

\frac{1}{2} 𝜌 𝑆 (𝑣_{2}^{2} - 𝑣_{1}^{2}) = 𝜌 𝑣 𝑆 (𝑣_{2} - 𝑣_{1})

soit finalement

𝑣 = \frac{𝑣_{1} + 𝑣_{2}}{2}

5/ En appliquant le théorème de la puissance cinétique à un système fermé construit à partir du système ouvert délimité par

𝑆_{1}

𝑆_{2}

, déterminer la puissance

𝒫︀

fournie par l’hélice au fluide. Donner le résultat en fonction du débit massique

𝐷_{𝑚}

𝑣_{1}

𝑣_{2}

puis en fonction de

\vec{𝐹}

\vec{𝑣}

Coup de pouce 1

Définir un système fermé à partir du système ouvert délimité par

𝑆_{1}

𝑆_{2}

Corrigé

On note

$Σ^{0}$ le système ouvert délimité par les surfaces $𝑆_{1}$ et $𝑆_{2}$
$𝛿 Σ_{1}$ le fluide traversant la surface $𝑆_{1}$ entre $𝑡$ et $𝑡 + d 𝑡$
$𝛿 Σ_{2}$ le fluide traversant la surface $𝑆_{2}$ entre $𝑡$ et $𝑡 + d 𝑡$
$Σ^{*}$ le système fermé défini à $𝑡$ par $Σ^{*} (𝑡) = Σ^{0} (𝑡) \cup 𝛿 Σ_{1}$ .

À l’instant $𝑡 + d 𝑡$ , le système $Σ^{*} (𝑡 + d 𝑡) = Σ^{0} (𝑡 + d 𝑡) \cup 𝛿 Σ_{2}$ .

Le TPC donne :

𝒫︀ = \frac{d 𝐸_{𝑐}^{*}}{d 𝑡} = \frac{𝐸_{𝑐}^{*} (𝑡 + d 𝑡) - 𝐸_{𝑐}^{*} (𝑡)}{d 𝑡} = \frac{𝐸_{𝑐}^{0} (𝑡 + d 𝑡) + \frac{1}{2} 𝛿 𝑚_{2} 𝑣_{2}^{2} - 𝐸_{𝑐}^{0} (𝑡) - \frac{1}{2} 𝛿 𝑚_{1} 𝑣_{1}^{2}}{d 𝑡}

Or le régime est stationnaire, donc $𝐸_{𝑐}^{0} (𝑡 + d 𝑡) = 𝐸_{𝑐}^{0} (𝑡)$ et $𝛿 𝑚_{1} = 𝛿 𝑚_{2} ≕ 𝛿 𝑚$ , d’où

𝒫︀ = \frac{𝛿 𝑚}{d 𝑡} (\frac{1}{2} 𝑣_{2}^{2} - \frac{1}{2} 𝑣_{1}^{2}) = 𝐷_{𝑚} (\frac{1}{2} 𝑣_{2}^{2} - \frac{1}{2} 𝑣_{1}^{2})

On peut alors remplacer $𝐹 = \frac{1}{2} 𝜌 𝑆 (𝑣_{2}^{2} - 𝑣_{1}^{2})$ d’où $(\frac{𝑣_{2}^{2}}{2} - \frac{𝑣_{1}^{2}}{2}) = \frac{𝐹}{𝜌 𝑆}$ :

𝒫︀ = 𝐷_{𝑚} \frac{𝐹}{𝜌 𝑆} = \frac{𝜌 𝑣 𝑆}{𝜌 𝑆} 𝐹 = 𝑣 𝐹 = \vec{𝐹} \cdot \vec{𝑣}

6/ Si

𝑣_{2} > 𝑣_{1}

, commenter le signe de

𝒫︀

et justifier l’allure du tube de courant représenté sur le schéma.

Coup de pouce 1

Justifier que

𝑆_{2} < 𝑆_{1}

Corrigé

Si $𝑣_{2} > 𝑣_{1}$ , alors $𝒫︀ > 0$ . Cela signifie que l’hélice fournit de l’énergie au fluide.

Comme le débit volumique se conserve, on a $𝑣_{1} 𝑆_{1} = 𝑣_{2} 𝑆_{2}$ , donc $𝑆_{2} = (\frac{𝑣_{1}}{𝑣_{2}}) 𝑆_{1} < 𝑆_{1}$ . Le tube de courant se resserre donc entre $𝑆_{1}$ et $𝑆_{2}$ .

Fonctionnement d’une hélice