Échangeur thermique à contre-courant

On considère une machine thermique ouverte dans laquelle circule lentement et horizontalement un fluide en régime stationnaire avec le débit massique

𝐷

. Il y reçoit les puissances thermique

𝑃_{th}

et mécanique

𝑃_{m}

1/ À l’aide du premier principe de la thermodynamique, établir un lien entre ces deux puissances,

𝐷

et les enthalpies massiques du fluide en entrée et en sortie.

Coup de pouce 1

Il s’agit de la démonstration du PPI du cours, avec quelques hypothèses qui simplifient un peu les calculs.

Coup de pouce 2

Le PPI ainsi obtenu doit être multiplié par le débit massique pour faire apparaitre les puissances demandées.

Corrigé

Le premier principe industriel donne

𝐷 (ℎ_{2} + 𝑒_{𝑐, 2} + 𝑔 𝑧_{2} - ℎ_{1} - 𝑒_{𝑐, 1} - 𝑔 𝑧_{1}) = 𝑃_{th} + 𝑃_{m}

Or $𝑒_{𝑐, 1} \approx 0$ et $𝑒_{𝑐, 2} \approx 0$ car le fluide circule lentement, et $𝑧_{2} = 𝑧_{1}$ car le tuyau est horizontal. On en déduit donc

𝐷 (ℎ_{2} - ℎ_{1}) = 𝑃_{th} + 𝑃_{m}

On considère maintenant un échangeur thermique isobare et adiabatique. Dans le tuyau circule un gaz, supposé parfait, de coefficient

𝛾 = \frac{7}{5}

, et de masse molaire

𝑀 = 29 g {mol}^{- 1}

. Il entre à

𝑇_{1} = 520 K

et ressort à

𝑇_{2} = 300 K

. Le fluide réfrigérant est de l’eau, de capacité thermique massique

𝑐 = 4,18 kJ {kg}^{- 1} ⁠ K^{- 1}

, entrant à

𝜃_{1} = 12 °C

et sortant à

𝜃_{2}

. Le régime est stationnaire de débit

𝐷_{𝑔} = 1,0 kg s^{- 1}

pour le gaz et

𝐷_{𝑒} = 4,0 kg s^{- 1}

pour l’eau.

Coup de pouce 1

Donner un nom à la puissance allant du gaz vers le fluide.

Coup de pouce 2

Appliquer le PPI en termes de puissances d’une part au gaz et d’autre part à l’eau.

Coup de pouce 3

Utiliser la seconde loi de Joule.

Corrigé

On note $𝑃$ la puissance cédée par le gaz à l’eau.

On applique la relation trouvée précédemment au gaz et à l’eau :

{\begin{cases} 𝐷_{𝑔} (ℎ_{2, 𝑔} - ℎ_{1, 𝑔}) = - 𝑃 \\ 𝐷_{𝑒} (ℎ_{2, 𝑒} - ℎ_{1, 𝑒}) = 𝑃 \end{cases}

On a donc

𝐷_{𝑔} (ℎ_{2, 𝑔} - ℎ_{1, 𝑔}) + 𝐷_{𝑒} (ℎ_{2, 𝑒} - ℎ_{1, 𝑒}) = 0

On peut remplacer les variations d’enthalpie avec la seconde loi de Joule (échange isobare) :

𝐷_{𝑒} 𝑐 (𝜃_{2} - 𝜃_{1}) + 𝐷_{𝑔} 𝑐_{𝑝} (𝑇_{2} - 𝑇_{1}) = 0

où $𝑐_{𝑝} = \frac{𝐶_{𝑝}}{𝑚} = \frac{\frac{𝛾 𝑛 𝑅}{𝛾 - 1}}{𝑚} = \frac{𝛾 𝑅}{𝑀 (𝛾 - 1)}$ est la capacité thermique massique à pression constante du gaz parfait. On en déduit

𝜃_{2} = 𝜃_{1} - \frac{𝐷_{𝑔}}{𝐷_{𝑒}} \frac{𝛾 𝑅}{(𝛾 - 1) 𝑐 𝑀} (𝑇_{2} - 𝑇_{1}) = 25 °C

3/ Exprimer le taux de création d’entropie

\frac{𝛿 𝑆_{𝑐}}{d 𝑡}

en fonction de la différence d’entropie massique entre la sortie et l’entrée pour l’eau

𝑠_{2, 𝑒} - 𝑠_{1, 𝑒}

et de gaz

𝑠_{2, 𝑔} - 𝑠_{1, 𝑔}

et des débits massiques.

Coup de pouce 1

Écrire le second principe de la thermodynamique pour un système ouvert en écoulement stationnaire. Comment le transformer pour faire apparaitre le taux de création d’entropie ?

Coup de pouce 2

Il faut utiliser la même méthode que pour faire apparaitre des puissances dans le PPI.

Coup de pouce 3

Appliquer cette relation tantôt au gaz, tantôt à l’eau, puis faire la somme des deux.

Coup de pouce 4

L’entropie échangée reçue par le gaz est celle cédée par l’eau.

Corrigé

Le second principe pour un système ouvert en écoulement stationnaire s’écrit

𝑠_{2} - 𝑠_{1} = 𝑠_{𝑒} + 𝑠_{𝑐}

En multipliant par le débit massique, on obtient

𝐷 (𝑠_{2} - 𝑠_{1}) = \frac{𝛿 𝑆_{𝑐}}{d 𝑡} + \frac{𝛿 𝑆_{𝑒}}{d 𝑡}

En appliquant cette relation au gaz et à l’eau, on obtient

{\begin{cases} 𝐷_{𝑔} (𝑠_{2, 𝑔} - 𝑠_{1, 𝑔}) = \frac{𝛿 𝑆_{𝑐, 𝑔}}{d 𝑡} + \frac{𝛿 𝑆_{𝑒, 𝑔}}{d 𝑡} \\ 𝐷_{𝑒} (𝑠_{2, 𝑒} - 𝑠_{1, 𝑒}) = \frac{𝛿 𝑆_{𝑐, 𝑒}}{d 𝑡} + \frac{𝛿 𝑆_{𝑒, 𝑒}}{d 𝑡} \end{cases}

Or l’entropie échangée reçue par le gaz $𝛿 𝑆_{𝑒, 𝑔}$ est celle cédée par l’eau $- 𝛿 𝑆_{𝑒, 𝑒}$ . En sommant les deux, on trouve finalement

\frac{𝛿 𝑆_{𝑐}}{d 𝑡} = \frac{𝛿 𝑆_{𝑐, 𝑒}}{d 𝑡} + \frac{𝛿 𝑆_{𝑐, 𝑔}}{d 𝑡} = 𝐷_{𝑔} (𝑠_{2, 𝑔} - 𝑠_{1, 𝑔}) + 𝐷_{𝑒} (𝑠_{2, 𝑒} - 𝑠_{1, 𝑒})

4/ En utilisant l’identité thermodynamique

d 𝐻 = 𝑇 d 𝑆 + 𝑉 d 𝑃

, montrer que

𝑠_{2, 𝑒} - 𝑠_{1, 𝑒} = 𝑐 ln (\frac{𝑇_{2, 𝑒}}{𝑇_{1, 𝑒}})

(températures absolues) et que

𝑠_{2, 𝑔} - 𝑠_{1, 𝑔} = \frac{𝛾 𝑅}{𝑀 (𝛾 - 1)} ln (\frac{𝑇_{2}}{𝑇_{1}})

. Calculer leur valeur.

Coup de pouce 1

Comment s’écrit la variation d’enthalpie pour une transformation isobare ?

Coup de pouce 2

Écrire la seconde loi de Joule.

Coup de pouce 3

Exprimer la variation d’entropie massique en fonction de la capacité thermique massique et de la température.

Coup de pouce 4

Pour un gaz parfait, comment la capacité thermique massique à pression constante s’exprime-t-elle en fonction du coefficient de Laplace ?

Corrigé

Pour une transformation isobare, on a $d 𝑃 = 0$ , donc l’identité thermodynamique devient $d 𝐻 = 𝑇 d 𝑆$ , soit par unité de masse $d 𝑠 = \frac{d ℎ}{𝑇}$ . En intégrant entre l’état 1 et l’état 2, on obtient

𝑠_{2} - 𝑠_{1} = \int_{1}^{2} \frac{d ℎ}{𝑇}

Pour l’eau, on utilise la seconde loi de Joule isobare $d ℎ = 𝑐 d 𝜃$ , ce qui donne

𝑠_{2, 𝑒} - 𝑠_{1, 𝑒} = \int_{𝑇_{1, 𝑒}}^{𝑇_{2, 𝑒}} 𝑐 \frac{d 𝑇}{𝑇} = 𝑐 ln (\frac{𝑇_{2, 𝑒}}{𝑇_{1, 𝑒}}) = 1,9

⋅102 J kg−1 ⁠K−1

Pour le gaz parfait, on utilise la seconde loi de Joule isobare $d ℎ = 𝑐_{𝑝} d 𝑇$ avec $𝑐_{𝑝} = \frac{𝛾 𝑅}{𝑀 (𝛾 - 1)}$ , ce qui donne

𝑠_{2, 𝑔} - 𝑠_{1, 𝑔} = \int_{𝑇_{1}}^{𝑇_{2}} \frac{𝛾 𝑅}{𝑀 (𝛾 - 1)} \frac{d 𝑇}{𝑇} = \frac{𝛾 𝑅}{𝑀 (𝛾 - 1)} ln (\frac{𝑇_{2}}{𝑇_{1}}) = - 5,5

⋅102 J kg−1 ⁠K−1

5/ Quel est le signe de

\frac{𝛿 𝑆_{𝑐}}{d 𝑡}

? Est-ce conforme avec le second principe de la thermodynamique ?

Corrigé

En utilisant les valeurs numériques précédentes, on trouve

\frac{𝛿 𝑆_{𝑐}}{d 𝑡} = 𝐷_{𝑔} (𝑠_{2, 𝑔} - 𝑠_{1, 𝑔}) + 𝐷_{𝑒} (𝑠_{2, 𝑒} - 𝑠_{1, 𝑒}) = 2,0

⋅102 W K−1>0

Ceci est conforme avec le second principe de la thermodynamique qui impose que le taux de création d’entropie soit positif ou nul.