Analyse vectorielle

Les opérateurs vectoriels ont une expression simple en fonction de

\vec{𝛻}

Point clé 1 – Notation nabla ♥︎

\vec{𝛻} = (\begin{matrix} \frac{𝜕}{𝜕 𝑥} \\ \frac{𝜕}{𝜕 𝑦} \\ \frac{𝜕}{𝜕 𝑧} \end{matrix})

Le gradient est un opérateur s’appliquant aux champs scalaires et renvoyant un vecteur.

Point clé 2 – Gradient ♥︎

Hypothèses :

$𝑓$ est une fonction de $ℝ^{3}$ dérivable.

Les variables de $𝑓$ sont les coordonnées cartésiennes.

\vec{grad} 𝑓 = \vec{𝛻} 𝑓 = (\begin{matrix} \frac{𝜕 𝑓}{𝜕 𝑥} \\ \frac{𝜕 𝑓}{𝜕 𝑦} \\ \frac{𝜕 𝑓}{𝜕 𝑧} \end{matrix})

Application 1 ✍

Exprimer le gradient du champ

\frac{1}{\sqrt{𝑥^{2} + 𝑦^{2} + 𝑧^{2}}}

En coordonnées cylindriques ou sphériques, la première composante de

\vec{grad} 𝑓

(c’est-à-dire selon

{\vec{𝑒}}_{𝑟}

) est la dérivée partielle de

𝑓

par rapport à

𝑟

Application 2 ✍

Exprimer le gradient du champ

\frac{1}{𝑟}

en coordonnées sphériques. Est-ce cohérent avec l’application précédente ? On pourra utiliser l’expression de

\vec{𝑂 𝑀}

dans les bases cartésienne et sphérique pour comparer les deux expressions.

1.2. Gradient et différentielle

Point clé 3 – Différentielle et gradient ♥︎✍

Hypothèse : $𝑓$ est une fonction de $ℝ^{3}$ dérivable.

d 𝑓 = \vec{grad} 𝑓 \cdot \vec{d 𝑙}

Point clé 4 – Direction du gradient et iso-contours ♥︎✍

Hypothèse : $𝑓$ est une fonction de $ℝ^{3}$ dérivable.

$\vec{grad} 𝑓$ est perpendiculaire aux iso- $𝑓$ .

2. Divergence

2.1. Définition

La divergence est un opérateur s’appliquant aux champs vectoriels et renvoyant un scalaire.

Point clé 5 – Divergence ♥︎

Hypothèses :

$\vec{𝐴}$ est une fonction de $ℝ^{3}$ dérivable.

Les variables de $\vec{𝐴}$ sont les coordonnées cartésiennes.

div \vec{𝐴} = \vec{𝛻} \cdot \vec{𝐴} = \frac{𝜕 𝐴_{𝑥}}{𝜕 𝑥} + \frac{𝜕 𝐴_{𝑦}}{𝜕 𝑦} + \frac{𝜕 𝐴_{𝑧}}{𝜕 𝑧}

avec

\vec{𝐴}

= 𝐴_{𝑥} {\vec{𝑒}}_{𝑥} + 𝐴_{𝑦} {\vec{𝑒}}_{𝑦} + 𝐴_{𝑧} {\vec{𝑒}}_{𝑧}

Application 3 ✍

Exprimer la divergence du champ

𝑥 {\vec{𝑒}}_{𝑥} + \frac{1}{𝑥} {\vec{𝑒}}_{𝑦} + \frac{1}{𝑧} {\vec{𝑒}}_{𝑧}

2.2. Théorème d’Ostrogradski

Le théorème d’Ostrogradski est parfois appelé théorème de Green-Ostrogradski ou théorème de la divergence.

Point clé 6 – Théorème d’Ostrogradski ♥︎

Hypothèses :

$\vec{𝐴}$ est une fonction de $ℝ^{3}$ dérivable.

$𝑉$ est le volume délimité par la surface fermée, orientée vers l’extérieur, $𝑆$ .

∭_{𝑉} div \vec{𝐴} d 𝑉 = ∯_{𝑆} \vec{𝐴} \cdot \vec{d 𝑆}

avec

\vec{𝐴}

= 𝐴_{𝑥} {\vec{𝑒}}_{𝑥} + 𝐴_{𝑦} {\vec{𝑒}}_{𝑦} + 𝐴_{𝑧} {\vec{𝑒}}_{𝑧}

Application 4 ✍

Parmi les surfaces suivantes, lesquelles sont fermées :

une sphère

un disque

un cube

une pyramide

un trapèze

une demi-sphère

3. Rotationnel

3.1. Définition

Le rotationnel est un opérateur s’appliquant aux champs vectoriels et renvoyant un vecteur.

Point clé 7 – Rotationnel ♥︎

Hypothèses :

$\vec{𝐴}$ est une fonction de $ℝ^{3}$ dérivable.

Les variables de $\vec{𝐴}$ sont les coordonnées cartésiennes.

\vec{rot} \vec{𝐴} = \vec{𝛻} \land \vec{𝐴} = (\begin{matrix} \frac{𝜕 𝐴_{𝑧}}{𝜕 𝑦} - \frac{𝜕 𝐴_{𝑦}}{𝜕 𝑧} \\ \frac{𝜕 𝐴_{𝑥}}{𝜕 𝑧} - \frac{𝜕 𝐴_{𝑧}}{𝜕 𝑥} \\ \frac{𝜕 𝐴_{𝑦}}{𝜕 𝑥} - \frac{𝜕 𝐴_{𝑥}}{𝜕 𝑦} \end{matrix})

avec

\vec{𝐴}

= 𝐴_{𝑥} {\vec{𝑒}}_{𝑥} + 𝐴_{𝑦} {\vec{𝑒}}_{𝑦} + 𝐴_{𝑧} {\vec{𝑒}}_{𝑧}

3.2. Théorème de Stokes

Point clé 8 – Théorème de Stokes ♥︎

Hypothèses :

$\vec{𝐴}$ est une fonction de $ℝ^{3}$ dérivable.

$𝑆$ est une surface s’appuyant sur la courbe fermée $𝒞︀$ , orientée par la règle de la main droite selon le sens de parcours de $𝒞︀$ .

\iint_{𝑆} \vec{rot} \vec{𝐴} \cdot \vec{d 𝑆} = \oint_{𝒞︀} \vec{𝐴} \cdot \vec{d 𝑙}

avec

\vec{𝐴}

= 𝐴_{𝑥} {\vec{𝑒}}_{𝑥} + 𝐴_{𝑦} {\vec{𝑒}}_{𝑦} + 𝐴_{𝑧} {\vec{𝑒}}_{𝑧}

Schéma 1 – Orientation relative entre une surface et sa frontière

3.3. Champ irrotationnel

Un champ dont le rotationnel est nul est dit irrotationnel. Un champ irrotationnel peut s’écrire comme un gradient.

Point clé 9 – Champ irrotationnel ♥︎✍

Hypothèse : $\vec{𝐴}$ est une fonction de $ℝ^{3}$ dérivable.

\vec{rot} \vec{𝐴} = \vec{0} \Leftrightarrow \exists 𝑓 | \vec{𝐴} = \vec{grad} 𝑓

avec

\vec{𝐴}

= 𝐴_{𝑥} {\vec{𝑒}}_{𝑥} + 𝐴_{𝑦} {\vec{𝑒}}_{𝑦} + 𝐴_{𝑧} {\vec{𝑒}}_{𝑧}

Application 5 ✍

Démontrer le sens

\exists 𝑓 | \vec{𝐴} = \vec{grad} 𝑓 \Rightarrow \vec{rot} \vec{𝐴} = \vec{0}

Application 6 ✍

\vec{𝐸} = - \vec{grad} 𝑉

est-il compatible avec les équations de Maxwell en régime stationnaire ? L’est-il en régime variable ?

3.4. Divergence d’un produit vectoriel

Point clé 10 – Divergence d’un produit vectoriel ♥︎✍

Hypothèse : $\vec{𝐴}$ et $\vec{𝐵}$ sont des fonctions de $ℝ^{3}$ dérivables.

div (\vec{𝐴} \land \vec{𝐵}) = (\vec{rot} \vec{𝐴}) \cdot \vec{𝐵} - \vec{𝐴} \cdot (\vec{rot} \vec{𝐵})

avec

\vec{𝐴}

= 𝐴_{𝑥} {\vec{𝑒}}_{𝑥} + 𝐴_{𝑦} {\vec{𝑒}}_{𝑦} + 𝐴_{𝑧} {\vec{𝑒}}_{𝑧}

4. Laplacien scalaire

Le laplacien scalaire est un opérateur s’appliquant aux champs scalaires et renvoyant un scalaire.

Point clé 11 – Laplacien scalaire ♥︎

Hypothèse : $𝑓$ est une fonction de classe ${𝒞︀}^{2}$ de $ℝ^{3}$ .

Δ 𝑓 = div (\vec{grad} 𝑓) = \frac{𝜕^{2} 𝑓}{𝜕 𝑥^{2}} + \frac{𝜕^{2} 𝑓}{𝜕 𝑦^{2}} + \frac{𝜕^{2} 𝑓}{𝜕 𝑧^{2}}

\vec{𝐴} \cdot \vec{grad}

L’opérateur

\vec{𝐴} \cdot \vec{grad}

peut s’appliquer à un champ scalaire, il renvoie alors un scalaire.

L’opérateur

\vec{𝐴} \cdot \vec{grad}

peut s’appliquer à un champ vectoriel, il renvoie alors un vecteur.

Point clé 12 –

\vec{𝐴} \cdot \vec{grad}

♥︎

Hypothèse : $\vec{𝐴}$ , $\vec{𝐵}$ et $𝑓$ sont des fonctions de $ℝ^{3}$ dérivables.

(\vec{𝐴} \cdot \vec{grad}) 𝑓 = 𝐴_{𝑥} \frac{𝜕 𝑓}{𝜕 𝑥} + 𝐴_{𝑦} \frac{𝜕 𝑓}{𝜕 𝑦} + 𝐴_{𝑧} \frac{𝜕 𝑓}{𝜕 𝑧}

(\vec{𝐴} \cdot \vec{grad}) \vec{𝐵} = 𝐴_{𝑥} \frac{𝜕 \vec{𝐵}}{𝜕 𝑥} + 𝐴_{𝑦} \frac{𝜕 \vec{𝐵}}{𝜕 𝑦} + 𝐴_{𝑧} \frac{𝜕 \vec{𝐵}}{𝜕 𝑧}

avec

\vec{𝐴}

= 𝐴_{𝑥} {\vec{𝑒}}_{𝑥} + 𝐴_{𝑦} {\vec{𝑒}}_{𝑦} + 𝐴_{𝑧} {\vec{𝑒}}_{𝑧}

6. Laplacien vectoriel

Le laplacien vectoriel est un opérateur s’appliquant aux champs vectoriels et renvoyant un vecteur.

Point clé 13 – Laplacien vectoriel ♥︎

Hypothèse : $\vec{𝐴}$ est une fonction de classe ${𝒞︀}^{2}$ de $ℝ^{3}$ .

\vec{Δ} \vec{𝐴} = \vec{grad} (div \vec{𝐴}) - \vec{rot} (\vec{rot} \vec{𝐴}) = (\begin{matrix} Δ 𝐴_{𝑥} \\ Δ 𝐴_{𝑦} \\ Δ 𝐴_{𝑧} \end{matrix})

avec

\vec{𝐴}

= 𝐴_{𝑥} {\vec{𝑒}}_{𝑥} + 𝐴_{𝑦} {\vec{𝑒}}_{𝑦} + 𝐴_{𝑧} {\vec{𝑒}}_{𝑧}

Le laplacien vectoriel est parfois noté simplement

Δ

(sans flèche), le contexte permettant de le distinguer du laplacien scalaire.

Application 7 ✍

Montrer que la première composante de

\vec{grad} (div \vec{𝐴}) - \vec{rot} (\vec{rot} \vec{𝐴})

est bien

Δ 𝐴_{𝑥}

Analyse vectorielle

1. Gradient

1.1. Définition

1.2. Gradient et différentielle

2. Divergence

2.1. Définition

2.2. Théorème d’Ostrogradski

3. Rotationnel

3.1. Définition

3.2. Théorème de Stokes

3.3. Champ irrotationnel

3.4. Divergence d’un produit vectoriel

4. Laplacien scalaire

5. $\vec{𝐴} \cdot \vec{grad}$

6. Laplacien vectoriel

Analyse vectorielle

1. Gradient

1.1. Définition

1.2. Gradient et différentielle

2. Divergence

2.1. Définition

2.2. Théorème d’Ostrogradski

3. Rotationnel

3.1. Définition

3.2. Théorème de Stokes

3.3. Champ irrotationnel

3.4. Divergence d’un produit vectoriel

4. Laplacien scalaire

5. 𝐴⃗⋅grad⃗

6. Laplacien vectoriel

5. $\vec{𝐴} \cdot \vec{grad}$